Enunciado

Quatro barras de mesma massa m e comprimento igual a l são conectadas por pinos em A, B, C e D e podem se mover em um plano horizontal. As barras são fixadas a quatro molas de mesma constante k e estão em equilíbrio na posição mostrada ( θ = 45 ∘ ). Determine o período de vibração se os cantos A e C tiverem deslocamentos pequenos e iguais um em direção ao outro e forem liberados.

Passo 1

O exercicio pee que a gente determine o período de vibração se os cantos A e C tiverem deslocamentos pequenos e iguais um em direção ao outro e forem liberados.

Cinemática

BC x G = l 2 c o s ⁡ θ δ x G = - l 2 s i n ⁡ θ δ θ

δ x ˙ G = - l 2 s i n ⁡ θ δ θ ˙

y C = 1 2 sin ⁡ θ           δ y G = l 2 c o s ⁡ θ δ θ

δ y G = l 2 c o s ⁡ θ δ θ ˙

x C = / c o s ⁡ θ δ x C = - l s i n ⁡ θ δ θ δ x ˙ C = - l s i n ⁡ θ δ θ ˙

x B = I s i n ⁡ θ δ x B = l c o s ⁡ θ δ θ δ x B = l c o s ⁡ θ δ θ ˙

y c = 0

y B = / s i n ⁡ θ δ y B = / c o s ⁡ θ δ θ δ y B = l c o s ⁡ θ δ θ ˙ m

A energia cinética é a mesma para as barras

Passo 2

Posição 1

T 1 = 4 1 2 I - δ θ ˙ m 2 + 1 2 m δ x ˙ G m 2 + δ y ˙ ( i ) m 2 I ^ = 1 12 m l 2

T 1 = 2 m t 2 1 12 + 1 4 s i n 2 ⁡ θ m + c o s 2 ⁡ θ n n δ θ ˙ m 2 T 1 = 2 3 m l 2 V 1 = 0

Passo 3

Posição 2

T 2 = 0 V 2 = ( 2 ) 1 2 k δ x m 2 + ( 2 ) 1 2 k δ y m 2 V 2 = k l 2 s i n 2 ⁡ θ + l 2 c o s 2 ⁡ θ δ θ m 2 = k I 2 δ θ m 2

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

2 3 m l 2 δ θ m 2 + 0 = 0 + k l 2 δ θ m 2

Movimento harmônico simples

δ θ ˙ m = ω n δ θ m

ω n 2 = 3 2 k m

Período de vibração

τ n = 2 π ω n

τ n = 2 π 2 m 3 k

Resposta

τ n = 2 π 2 m 3 k

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