Enunciado

As quatro esferas de 3   k g estão rigidamente montadas na estrutura e eixo com rotação, que estão inicialmente girando livremente em torno do eixo vertical z na velocidade angular de 20   r a d / s no sentido horário quando visto de cima. Se um torque constante M = 30   N ∙ m é aplicado ao eixo, calcule o tempo t para inverter o sentido da rotação e atingir uma velocidade angular θ ˙ = 20   r a d / s no mesmo sentido de M .

Passo 1

Vamos lembrar da seguinte equação:

∑ M O = H ˙ O

No nosso caso, o momento resultante é a constante M . Então:

M = d H O d t

Rearranjando os termos, obtemos a seguinte equação diferencial:

M   d t = d H O

Agora, integraremos a equação obtida nos dois lados:

∫ 0 t M d t = Δ H O

M t = Δ H O

Passo 2

Nesse caso, teremos:

H O = ∑ m i v i r i = ∑ m i r i θ ˙ r i

Então:

M t = Δ ∑ m i r i 2 θ ˙

M t = ∑ m i r i 2 Δ θ ˙

M t = ( θ ˙ - θ ˙ 0 ) ∑ m i r i 2

Substituímos os valores:

30   t = 20 - - 20 2 3 0 , 3 2 + 2 3 0 , 5 2

30   t = 40 2,04

t = 2,72   s

Resposta

t = 2,72   s

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