Enunciado

Resolva o Problema 10.80 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

O problema pede que encontremos os centroides x - e y - , a orientação dos eixos e os principais momentos e produtos de inércia, usando para isso o círculo de Mohr, que você pode encontrar uma explicação aqui mesmo no responde aí, dá uma olhadinha lá!

Então, vamos começar calculando o centroide:

x - = ∑ y - ⋅ A ∑ A = 2,5 60 5 + 32,5 ( 55 ) ( 5 ) 60 5 + 55 ( 5 )

x - = 16,85   m m

E no outro eixo:

y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A = 30 60 5 + 2,5 ( 55 ) ( 5 ) 60 5 + 55 ( 5 )

y - = 16,85   m m

Passo 2

Agora, vamos calcular o momento e o produto de inércia com relação aos eixos x e y :

I x = 1 12 55 5 3 + 55 5 14,35 2 + 1 12 5 60 3 + 5 6 13,15 2

I x = 199,08 ⋅ 10 3   m m 4

Vamos para o eixo y agora:

I y = 1 12 60 5 3 + 60 5 14,35 2 + 1 12 5 55 3 + 5 5,5 15,65 2

I y = 199,08 ⋅ 10 3   m m 4

E também I x y , que é:

I x y = 60 5 - 14,35 13,15 + 55 5 15,65 - 14,35

I x y = - 118,37 ⋅ 10 3   m m 4

Passo 3

Agora, finalmente iremos usar o círculo de Mohr, onde o centro C do círculo encontra o eixo u , então, vamos lá:

I A V G = I x + I y 2 = 199,08 + 199,08 2 ⋅ 10 3

I A V G = 199,08 ⋅ 10 3   m m 4

As cordenadas de referência do ponto A são: 199,08 ; - 118,37 ⋅ 10 3   m m 4

Logo, o circulo pode ser construído assim:

R = C A = 118,37 ⋅ 10 3   m m 4

Passo 4

Com todas essas informações que obtemos, podemos calcular os momentos de inércia que são:

I m a x = 199,08 + 118,37 ⋅ 10 3 = 317 ⋅ 10 3   m m 4

I m i n = 199,08 - 118,37 ⋅ 10 3 = 80,7 ⋅ 10 3   m m 4

Então, também temos que saber que a orientação em relação aos eixos são:

2 θ p 1 = 90 °  

θ p 1 = 45 ° Anti-horário

E:

2 θ p 2 = 90 °  

θ p 2 = 45 ° Horário

Resposta

x - = 16,85   m m

y - = 16,85   m m

I m a x = 317 ⋅ 10 3   m m 4

I m i n = 80,7 ⋅ 10 3   m m 4

θ p 1 = 45 °  

θ p 2 = 45 °

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