Enunciado

Resolva o Problema 7.10 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através do estado de tensões que foi dado no enunciado, conseguimos esboçar o círculo de Mohr para esse estado. A partir do círculo, podemos encontrar a inclinação dos planos principais e suas tensões. E ainda através do círculo, podemos encontrar o plano de cisalhamento máximo e a sua intensidade.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = (2 + 10)/(2) -> sigma_m e d = 6 k s i

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (2 , 3) k s i

Y : (sigma_y , tau_x y) = (10 , - 3) k s i

C : (sigma_m e d , 0) = (6 , 0) k s i

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, vamos começar encontrando seu raio, que pode ser dado por:

R = sqrt(C F^2 + F X^2) = sqrt((O C - O F)^2 + F X^2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = sqrt((6 - 2)^2 + (3)^2) -> R = 5 k s i

Agora vamos encontrar a inclinação dos planos principais theta_P , então teremos:

t g 2 theta_P = (F X)/(F C) = (F X)/(O C - O F)

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g 2 theta_P = (3)/(10 - 6) = (3)/(4) -> 2 theta_P = 36,87 ° -> theta_P = 18,43 °

Passo 4

Agora podemos encontrar a inclinação dos planos de cisalhamento máximo pedido na letra (a), que são os pontos D e E. Lembrando que eles estão sempre a 45° de inclinação com relação ao plano principal, teremos:

theta_D = theta_P - 45 °

theta_E = theta_P + 45 °

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

theta_D = 18,43 - 45 -> theta_D = - 26,6 °

theta_E = 18,43 + 45 -> theta_E = 63,4 °

Passo 5

Agora, para determinar a tensão normal correspondente aos planos de cisalhamento máximo, basta olhar para o círculo de Mohr e notar que a tensão nesse ponto será a tensão no ponto C, que é justamente a tensão média, ou seja:

sigma = sigma_m e d -> sigma = 6 k s i

Resposta

(a) : theta_D = - 26,6 °

(a) : theta_E = 63,4 °

(b) : sigma = 6 k s i

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