Enunciado

Resolver o P r o b .   4.120 , considerando que o raio de cada um dos semi-círculos da seção transversal do grampo é aumentada de 2 m m   p a r a   3 m m .

Passo 1

Nossos objetivos iniciais são dois, determinar a máxima tensão nos pontos A e B, sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ x = P A - M y I

Precisamos da LN para determinarmos tudo que precisamos, momento fletor, o valor de y e o valor do momento de inércia, com isso podemos seguir o seguinte passo a passo para termos a LN:

  • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:
  • As áreas são:
  • Calculando a área temos que:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:
  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

Substituindo teremos que:

y - = 80   .   10   + 14,14   .     1 7   + 14,14   .     1 7 80 + 14,14 + 14,14

y - = 11,8   m m  

E assim temos que:

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões
    • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões
    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
    • Momento de inércia de cada região
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 2667 + 80   .     1,8 2 + 31,8 + 14,14   .     6,2 2 + 31,8 + 14,14   .     6,2 2

    I = 4077   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E para calculo de momentos fletores temos que:

M = - P   x   e

M = - 400   x 32 + 20 - 11,8 = - 16080   N m m

Fazendo primeiro o item a) temos que:

σ A = 400 A 1 + A 2 + A 3 - M y I

σ A = 400 80 + 14,14 + 14,14 - - 16080 8,2 4077 = 36 N m m 2 = 36   M P a

Fazendo agora o item b) teremos que:

σ B = 400 80 + 14,14 + 14,14 - - 16080 - 11,8 4077 = - 42,8   N m m 2 = - 42,8   M P a

E para o item C, para determinarmos a LN na seção a - a , precisamos lembrar que a seção tem tensão igual a zero exatamente sobre a LN, com isso podemos definir que:

σ x = P A - M y I = 0

M y I = P A

Sabemos que:

y = P I M A

Com isso teremos que:

y = 400   .     4077 - 16080   .     ( 80 + 14,14 + 14,14 ) = - 0,94

Logo, se temos o valor de y, basta fazermos a diferença entre a LN anterior calculada e o valor de y definido, sendo assim teremos que:

L N = 11 , 8 - 0,94 = 10,86   m m

Esse valor sendo visto de baixo pra cima, se olharmos de cima pra baixo teremos que:

L N = 20 - ( 11 , 8 - 0 , 94 ) = 9,14   m m

Resposta

  1. σ A = 36   M P a
  2. σ B = - 42,8   M P a
  3. L N = 10 , 86   m m   o u   9 , 14   m m
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O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (b) a máxima tensão de tração na viga.
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Para a viga indicada, determinar a tensão no ponto A , considerando que o plano no qual atua o momento M foi girado de 90 ° no sentido horário.
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