Enunciado

A um bloco de madeira de 100   m m   x   100   m m de seção transversal, são pregadas quatro pranchas de seção transversal 25 m m   x   100   m m . Pede-se:

  1. Determinar a tensão compressiva no bloco, causada por uma carga axial centrada de 70   k N .
  2. Sabendo-se que, em cada um dos casos que se seguem, a carga axial de 70   k N é aplicada no centro da madeira 100 x 100 mm, determinar a maior tensão de compressão no bloco, se são removidas:

  3. A prancha 1
  4. A prancha 1 e 2
  5. A prancha 1, 2 e 3
  6. Todas as pranchas

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a máxima tensão de compressão, e sabemos que a fórmula é dada por:

σ x = P A - M y I

Para o item A) deseja-se saber a tensão normal que age na nossa prancha, olhado o perfil teremos que:

Como a carga de 70   k N está centrada no perfil 5, e o nosso perfil é simétrico nas duas direções, com isso teremos que o momento fletor será zero, já que não temos excentricidade, sendo assim a nossa fórmula é dada por:

σ x = P A

Calculando a área teremos que:

A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

A = 25 x 100 + 25 x 100 + 25 x 100 + 25 x 100 + 100 x 100 = 20000   m m 2

Substituindo teremos que:

σ x = P A = - 70   .     1000   N 20000   [ m m 2 ] = - 3,5 N m m 2 = - 3,5   M P a

Passo 2

Para o item B) faremos o mesmo cálculo, mas iremos tirar a prancha 1, sendo assim teremos que a nossa seção será:

Como a seção é assimétrica, precisamos determinar a LN.

  • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:
  • As áreas são:
  • Calculando a área temos que:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:
  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:
  • y - = ∑ A i y - i ∑ A i

    Com isso teremos que:

    y - = A 2 y - 2 + A 3 y - 3 + A 4 y - 4 + A 5 y - 5 A 2 + A 3 + A 4 + A 5

    Substituindo teremos que:

    y - = 2500   .   1 12,5   + 2500   .     50   + 2500   .     50 + 10000   .     50 2500 + 2500 + 2500 + 10000

    y - = 58,9   m m  

    E assim temos que:

    Passo 3

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

    • I

      Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

      • Numeração das regiões
      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

      • Área das regiões
      • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
      • Momento de inércia de cada região
    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

      I = ∑ I i + A i d i 2

      Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

      I = I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2 + I 4 + A 4 d 4 2 + I 5 + A 5 d 5 2

      I = 130208 + 2500   .     53,6 2 + 2083333 + 2500   .     8,9 2 + 2083333 + 2500   .     8,9 2 + 8333333 + 10000   .     8,9 2

      I = 21000757   m m 4

      Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

      Passo 4

      Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

    • y - positivo e negativo
    • E para calculo de momentos fletores temos que usar a excentricidade :

      M = - 70000   x   8,9 = - 623000   N m

      Como o momento está na direção negativa, devemos usar os valores de y inferirores para temros o máximo de tesnões de compressão, sendo assim teremos que:

      σ x = - 70000 2500 + 2500 + 2500 + 10000 - - 623000   .   - 58,9 21000757 = - 5,75 N m m 2 = - 5,75   M P a

      Passo 5

      Para o item C) deseja-se saber a tensão normal que age na nossa prancha, olhado o perfil teremos que:

      Como a carga de 70   k N está centrada no perfil 5, e o nosso perfil é simétrico nas duas direções, com isso teremos que o momento fletor será zero, já que não temos excentricidade, sendo assim a nossa fórmula é dada por:

      σ x = P A

      Calculando a área teremos que:

      A = A 3 + A 4 + A 5

      A = 25 x 100 + 25 x 100 + 100 x 100 = 15000   m m 2

      Substituindo teremos que:

      σ x = P A = - 70   .     1000   N 15000   [ m m 2 ] = - 4,67 N m m 2 = - 4,67   M P a

      Passo 6

      Para o item d) faremos o mesmo cálculo, mas iremos tirar a prancha 1,2 e 3, sendo assim teremos que a nossa seção será:

      Se girarmos a seção para facilitar a visualização do cálculo, teremos que:

      Como a seção é assimétrica, precisamos determinar a LN.

    • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:
    • As áreas são:
    • Calculando a área temos que:

    • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:
    • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

    y - = ∑ A i y - i ∑ A i

    Com isso teremos que:

    y - = A 4 y - 4 + A 5 y - 5 A 4 + A 5

    Substituindo teremos que:

    y - = 2500   .   112,5   + 10000   .     50 2500 + 10000

    y - = 62,5   m m  

    E assim temos que:

    Passo 7

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões
    • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões
    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
    • Momento de inércia de cada região
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 4 + A 4 d 4 2 + I 5 + A 5 d 5 2

    I = 130208 + 2500   .     50 2 + 8333333 + 10000   .     12,5 2

    I = 16276041   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 8

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E para calculo de momentos fletores temos que usar a excentricidade :

M = - 70000   x   12,5 = - 875000   N m

Como o momento está na direção negativa, devemos usar os valores de y inferirores para temros o máximo de tesnões de compressão, sendo assim teremos que:

σ x = - 70000 2500 + 10000 - - 875000   .   - 62,5 16276041 = - 8,96 N m m 2 = - 8,96   M P a

Passo 3

Para o item e) deseja-se saber a tensão normal que age na nossa prancha, olhado o perfil teremos que:

Como a carga de 70   k N está centrada no perfil 5, e o nosso perfil é simétrico nas duas direções, com isso teremos que o momento fletor será zero, já que não temos excentricidade, sendo assim a nossa fórmula é dada por:

σ x = P A

Calculando a área teremos que:

A = A 5

A = 100 x 100 = 10000   m m 2

Substituindo teremos que:

σ x = P A = - 70   .     1000   N 10000   [ m m 2 ] = - 7 N m m 2 = - 7   M P a

Resposta

  1. σ x = - 3,5   M P a
  2. σ x = - 5,75   M P a
  3. σ x = - 4,67   M P a
  4. σ x = - 8,96   M P a
  5. σ x = - 7   M P a
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Exercícios de Livros Relacionados

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .
O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .
A carga de 120k N pode ser aplicada a qualquer ponto da circunferência de raio 40m m mostrada. Se θ = 20 ° , determinar: (a) a tensão em A .
Para a viga indicada, determinar a tensão no ponto A , considerando que o plano no qual atua o momento M foi girado de 90 ° no sentido horário.
A viga do Prob. 4.170 está submetida a um momento M y atuando em um plano horizontal. Mostre que a tensão no ponto A é: σ A = z I z - y I y z I y I z - I y z 2M y