Enunciado

Resolver o Prob. 10.23, suando a barra escalonada mostrada, como uma aproximação da barra em forma de tronco de cone. Qual é a porcentagem de erro na resposta obida?

Passo 1

Fala, pessoal! Andam estudando muito? Ver questões passo a passo facilita, né? Então vamos resolver mais uma questão de energia de deformação! Animados?

Nessa questão, nós temos que comparar duas formas de calcular a energia de deformação U de um tronco de cone. Em uma das formas, a gente considera que a área A do tronco varia linearmente ao longo do cone. Foi assim que calculamos U do cone no Prob. 10.23.

U = 1 4 P 2 L E A m í n

A m í n é a menor área da seção transversal do tronco de um cone. Se o raio dessa área for igual a c , essa área vale A m í n = π c 2 .

U = 1 4 P 2 L E π c 2

A outra forma de se calcular a energia de deformação do cone é aproximando o cone como vários cilindros pequenos. A figura abaixo mostra a cone e a aproximação que fazemos dele.

U a é a energia de deformação aproximada. U é a energia de deformação do tronco de cone. Como a proximação do tronco é formada por cinco cilindros, a energia de deformação U a é a soma da energia desses cinco cilindros.

U a = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5

Para calcular a energia de deformação de cada um desses cilindros, usamos a equação 10.14 do livro. Essa equação é válida para barras com áreas da seção transversal A constantes, como é o nosso caso!

U n = P 2 L n 2 A n E

Onde A n são as áreas dos cilindros A 1 , A 2 , A 3 , A 4 e A 5 , L n são os comprimentos dos cilindros L 1 , L 2 , L 3 , L 4 e L 5 e U n são as energias de deformação dos cilindros U 1 , U 2 , U 3 , U 4 e U 5 .

Para achar o erro percentual Δ U % do cálculo de U a

Δ U % = U a - U U × 100

Os tracinhos “|” que aparecem na fórmula do erro indicam que estamos usando o módulo.

No próximo passo vamos iniciar as contas, calculando as energias U 1 , U 2 , U 3 , U 4 e U 5 .

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular U a . Para isso, é necessário calcular as áreas A 1 , A 2 , A 3 , A 4 e A 5 . Todas são calculadas a partir da fórmula π × R 2 . A única diferença entre essas cinco áreas são os valores diferentes de raio que cada uma tem.

A 1 = π × R 1 2       ⟹       A 1 = π × 1,9 c 2       ⟹       A 1 = π × 3,61 × c 2

A 2 = π × R 2 2       ⟹       A 2 = π × 1,7 c 2       ⟹       A 2 = π × 2,89 × c 2

A 3 = π × R 3 2       ⟹       A 3 = π × 1,5 c 2       ⟹       A 3 = π × 2,25 × c 2

A 4 = π × R 4 2       ⟹       A 4 = π × 1,3 c 2       ⟹       A 4 = π × 1,69 × c 2

A 5 = π × R 5 2       ⟹       A 5 = π × 1,1 c 2       ⟹       A 5 = π × 1,21 × c 2

Com esses valores podemos achar as energias de deformação U 1 , U 2 , U 3 , U 4 e U 5 de cada cilindro.

U 1 = P 2 L 1 2 A 1 E       ⟹       U 1 = P 2 L / 5 2 × π × 3,61 × c 2 × E

U 2 = P 2 L 2 2 A 2 E       ⟹       U 2 = P 2 L / 5 2 × π × 2,89 × c 2 × E

U 3 = P 2 L 3 2 A 3 E       ⟹       U 3 = P 2 L / 5 2 × π × 2,25 × c 2 × E

U 4 = P 2 L 4 2 A 4 E       ⟹       U 4 = P 2 L / 5 2 × π × 1,69 × c 2 × E

U 5 = P 2 L 5 2 A 5 E       ⟹       U 5 = P 2 L / 5 2 × π × 1,21 × c 2 × E

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular a energia de deformação aproximada do tronco U a .

Somando as energias de deformação de cada cilindro, somos capazes de achar U a .

U a = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5

U a = P 2 L 5 2 × π × 3,61 × c 2 × E + P 2 L 5 2 × π × 2,89 × c 2 × E +

P 2 L 5 2 × π × 2,25 × c 2 × E + P 2 L 5 2 × π × 1,69 × c 2 × E + P 2 L 5 2 × π × 1,21 × c 2 × E

Colocando o termo P 2 L 5 2 × π × c 2 × E em evidência, achamos:

U a = P 2 L 5 2 × π × c 2 × E × 1 3,61 + 1 2,89 + 1 2,25 + 1 1,69 + 1 1,21

U a = P 2 L 4 × π × c 2 × E × 0,9943

Agora estamos prontos para calcular o erro relativo no próximo passo.

Passo 4

Esse é o último passo. Nele, vamos calcular o erro percentual Δ U % da aproximação. Fazemos isso, substituindo os valores de U e U a que conhecemos.

Δ U % = U a - U U × 100

Δ U % = P 2 L 4 × π × c 2 × E × 0,9943 - P 2 L 4 × π × c 2 × E P 2 L 4 × π × c 2 × E × 100

Cortando o termo P 2 L 4 × π × c 2 × E , achamos:

Δ U % = 1 × 0,9943 - 1 1 × 100

Δ U % = 0,57 %

Resposta

Δ U % = 0,57 %

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