Enunciado

Resolver o Prob. 10.25, assumindo que os dois diâmetros da barra, de 18   m m e 19   m m , foram aumentados para 21   m m . Desta maneira, os três diâmetros à esquerda da barra de controle ficam constantes e de valor igual a 21   m m .

Passo 1

Tudo tranquilo, galerinha? Vamos fazer uma questãozinha de energia de deformação?

O enunciado pede para a gente calcular a máxima energia de deformação U e de uma barra com um diâmetro D variável! U e é a máxima energia que a barra pode ter antes de se deformar permanentemente.

A figura abaixo mostra como é essa barra com diâmetro variável.

Para calcular a energia de deformação máxima U e , precisamos encontrar antes o valor da máxima força P e que a barra suporta! Para achar esse valor, se liga na dica: em qualquer questão de barras submetidas a cargas axiais, a força máxima P e que a barra suporta é igual a tensão normal admissível σ a d m vezes a área A m í n da menor seção transversal da barra!

P e = σ a d m × A m í n

σ a d m vale 175   M P a segundo o enunciado.

Como podemos ver na figura, a área mínima A m í n é a área com diâmetro de 18   m m !

Para achar U e a partir da força U e precisamos calcular a integral abaixo.

U e = ∫ 0 L P e 2 2 A E d x

onde x é a distância entre um ponto qualquer da barra e a parede, A é a área da seção transversal da barra e E é o módulo de elasticidade da barra. O enunciado informa o valor de E .

E = 200   G P a

Os termos P e e E são constantes e, portanto não interferem na integral. No entanto, a área A da seção transversal da barra varia ao longo do eixo x . Logo, para integrar, nós teríamos que ter uma equação de A em função de x .

A = ? ? ?

O problema é que só conhecemos o valor do diâmetro da barra em apenas 7 pontos que estão separados por uma distância 40   m m . Isso quer dizer que não sabemos como a área A varia exatamente com x . Logo, precisamos calcular a integral de forma aproximada!

Antes de aproximar a integral, vamos transformá-la.

Passo 2

Nesse passo, a gente vai transformar a integral que temos para conseguir fazer um cálculo aproximado dela!

Primeiro, temos que lembrar que a área A vale:

A = π D 2 4

Substituindo a equação de A e P e na integral, achamos.

U e = ∫ 0 L P e 2 2 A E d x

U e = ∫ 0 L σ a d m × A m í n 2 2 × π D 2 4 × E d x

σ a d m , A m í n e E são constantes. Logo, podemos ser tirados da integral.

U e = σ a d m × A m í n 2 π 2 × E ∫ 0 L 1 D 2 d x

Desse jeito, só restou o diâmetro D dentro da integral, porque ele é o único termo que varia com x . O problema é que não temos uma equação de D em função de x . Por isso, vamos ter que calcular a integral de forma aproximada, usando o valor dos 7 diâmetros que temos.

No próximo passo veremos como fazer essa aproximação.

Passo 3

Para aproximar a integral, usaremos a regra de Simpson. Essa regra diz que, para fazer o cálculo aproximado da integral de uma função qualquer f x , conhecendo o valor da função em apenas 7 pontos, podemos usar a fórmula abaixo.

∫ a b f x d x = h 3 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + 2 f x 6 + f x 7

h é a distância entre os 7 pontos. No nosso caso, h vale:

h = 40   m m = 0,04   m

a e b são os limites de integração da função. No nosso caso, a e b valem:

a = 0

b = L = 240   m m = 0,24   m

f x é a função que queremos integrar. No nosso caso, f x vale:

f x = 1 D 2

Substituindo tudo isso na regra de Simpson, encontramos:

∫ 0 L 1 D 2 d x = 0,04 3 1 D 1 2 + 2 1 D 2 2 + 4 1 D 3 2 + 2 1 D 4 2 + 4 1 D 5 2 + 2 1 D 6 2 + 1 D 7 2

Passando os diâmetros para metro m através da divisão dos seus valores em m m por 1000 e substituindo esses valroes convertidos na integral, podemos calcular o valor da integral.

∫ 0 L 1 D 2 d x = 0,04 3 1 0,021 2 + 2 1 0,021 2 + 4 1 0,021 2 + 2 1 0,024 2 + 4 1 0,027 2 + 2 1 0,029 2 + 1 0,03 2

Fazendo as contas a integral dá:

∫ 0 L 1 D 2 d x = 377,62   1 m

Aeee, resolvemos a integral. Mas calma, porque o exercício ainda não acabou.

No próximo passo a gente vai usar esse valor para achar U e .

Passo 4

Nesse passo vamos, enfim, achar o valor de U e . Para isso, temos que substituir todos os dados que temos na equação de U e .

Antes disso, precisamos converter σ a d m de M P a para P a , multiplicando seu valor por 10 6 .

σ a d m = 175   M P a       ⟹       σ a d m = 175 × 10 6   P a

Além disso, precisamos converter também o valor de E de G P a para P a , multiplicando seu valor por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

Por fim, nós temos que calcular A m í n .

A m í n = π D m í n 2 4       ⟹       A m í n = π × 0,021 2 4

Substituindo tudo isso na fórmula de U e , achamos:

U e = σ a d m × A m í n 2 π 2 × E ∫ 0 L 1 D 2 d x

U e = 175 × 10 6 × π × 0,021 2 4 2 π 2 × 200 × 10 9 × 377,62

U e = 4,42   J

Resposta

U e = 4,42   J

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