Enunciado

Resolver o Prob. 4.57, considerando que 6,35   m m é a espessura do tubo interno, feito de alumínio, e que 2,50   m m é a espessura do tubo externo, feito de aço.

Passo 1

Queremos analisar essa viga composta. Os dados que temos são:

- E a ç o = 200   G P a = 200 ⋅ 10 9   P a

- E a l u m í n i o = 70   G P a = 70 ⋅ 10 9   P a

- Raio interno da parte de alumínio: c a l 1 = 18,65   m m = 0,01865   m

- Raio externo da parte de alumínio e interno da parte de aço: c a l 2 = c a ç o 1 = 18,65 + 6,35 m m = 0,025   m

- Raio externo da parte de aço: c a ç o 2 = 25 + 2,5 m m = 0,0275   m

- Momento fletor aplicado: M = 1,5   k N = 1500   N

Vamos transformar a parte de aço em uma parte equivalente de alumínio. Para isso, nosso fator de transformação vai ser:

n = E a ç o E a l u m í n i o ≈ 2,86

Belezinha! Agora é fazer continhas. Vem comigo!

Passo 2

a) Queremos a tensão máxima na parte de alumínio. Primeiro a gente precisa calcular o momento de inércia da seção.

Como o nosso material de referência é o alumínio, o momento de inércia da parte de alumínio fica assim:

I a l u m í n i o = π 4 c a l 2 4 - c a l 1 4

Já o momento de inércia da parte de aço vai ter um detalhezinho a mais.

A gente não vai multiplicar o fator n por nenhuma dimensão da parte de aço, porque ela é circular. Não é viável multiplicar n por nenhuma dimensão que é paralela ao eixo horizontal quando a gente fala de círculos.

O que vamos fazer então? A gente pode multiplicar n pelo próprio momento de inércia dessa parte. Fica assim:

I a ç o = n π 4 c a ç o 2 4 - c a ç o 1 4

O momento total fica:

I T = I a l u m í n i o + I a ç o

I T = π 4 0,025 4 - 0,01865 4 + 2,86 ⋅ π 4 0,0275 4 - 0 , 025 4

I T = 6,2 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 3

A tensão máxima no alumínio fica:

σ a l u m í n i o = M c a l 2 I T = 1500 ⋅ 0,025 6,2 ⋅ 10 - 7

σ a l u m í n i o = 60,5   M P a

Passo 4

b) Queremos calcular a tensão máxima na parte de aço. Agora a gente precisa usar o fator n . Fica assim:

σ a ç o = n M c a ç o 2 I T = 2,86 ⋅ 1500 ⋅ 0,0 27 5 6,2 ⋅ 10 - 7

σ a ç o = 190,3   M P a

Passo 5

c) Para finalizar, a gente quer o raio de curvatura da viga. Só usar a fórmulinha:

1 ρ = M E a l u m í n i o I ∴ ρ = E a l u m í n i o I M

ρ = 70 ⋅ 10 9 ⋅ 6,2 ⋅ 10 - 7 1500 = 28,93   m

Resposta

(a) σ a l u m í n i o = 60,5   M P a

(b) σ a ç o = 190,3   M P a

(c)   ρ = 28,93   m

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