Enunciado

Sabendo-se que a tensão admissível de compressão é 80   M P a , determinar a maior distância a permissível da linha de ação da força de 270   N , ao plano que contém o centro de curvatura da barra.

Passo 1

A região que sofre maior esforço é o centro da curva. Então vamos fazer uma seção neste ponto e calcular os esforços internos

Primeiro vamos calcular as propriedades geométricas da seção: raio do centroide, raio externo e área:

r - = r 1 + h 2 = 7,6 + 12,7 2 = 13,95   m m

r 2 = r 1 + h = 20,3   m m

A = h ⋅ b = 12,7 ⋅ 12,7 = 161,29   m m 2

Passo 2

Com o raio podemos calcular o momento interno, já que a distância entre a força P e o centro da viga é ( a + r - )

M = P a + r - = 270   N   ( a + 13,95   m m )

E a carga interna será igual a carga P :

R = P = 270   N

Passo 3

Como a seção é quadrada, a gente calcula o raio da linha neutra pela equação:

R = h ln ⁡ r 2 r 1 = 12,7 ln ⁡ 20,3 7,6 = 12,9266   m m

E com isso, a gente calcula a excentricidade:

e = r - - R = 1,0234   m m

Passo 4

Cuidado! Um erro comum nesse tipo de questão é esquecer de calcular a tensão gerada pela força interna R:

Não esqueça de que é uma compressão! Ou seja, a tensão é negativa:

σ R = - P A

σ R = - 270   N 161,29   m m 2

σ R = - 1,674   M P a

Passo 5

Como a tensão σ R é uma compressão, então podemos assumir que a maior tensão ocorrerá em quando a compressão for a maior possível, ou seja, quando r = r 1 . Aplicando:

σ a d m = - P A + P   ( a + r - ) ⋅ r 1 - R A e r 1

Usando um pouco de matemágica, vamos isolar o a :

σ a d m = P A - 1 +   a + r - ⋅ r 1 - R e r 1

σ a d m A P + 1 =   r 1 - R e r 1 a + r -

a = σ a d m A P + 1 ⋅ e r 1   r 1 - R - r -

E aplicamos os valores:

a = - 80   M P a ⋅ 161,29   m m 2 270   N + 1 ⋅ 1,0234   m m ⋅ 7,6   m m   7,6   m m - 12,9266   m m 2 - 13,95   m m

a = 54,372   m m

Resposta

a = 54,372   m m

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