Enunciado

Um robô industrial está sendo utilizado para posicionar uma pequena peça P . Calcule o módulo da aceleração a de P para o instante em que β = 30 ° se β ˙ = 10 graus por segundo e β ¨ = 20 graus por segundo ao quadrado neste mesmo instante. A base do robô está girando na taxa constante ω = 40 graus por segundo. Durante o movimento os braços A O e A P permanecem perpendiculares.

Passo 1

Galera, vamos tratar o problema usando coordenadas cilíndricas, de modo que a distância z vai do chão até o ponto P e a distância r será considerada do ponto P até a vertical do robô, conforme mostra a figura:

Então, considerando as dimensões b e c como mostradas na figura, podemos escrever r assim:

r = b cos ⁡ β + c   s e n   β

Derivando essa equação em relação ao tempo, obtemos:

r ˙ = b   - s e n   β   β ˙ + c   cos ⁡ β   β ˙

r ˙ = c cos ⁡ β - b   s e n   β   β ˙

Derivamos novamente, utilizando a regra do produto:

r ¨ = c   - s e n   β   β ˙ - b   cos ⁡ β   β ˙   β ˙ + c cos ⁡ β - b   s e n   β   β ¨

r ¨ = c cos ⁡ β - b   s e n   β   β ¨ - c   s e n   β + b cos ⁡ β   β ˙ 2

Analogamente, olhamos para a figura e escrevemos z , derivando como fizemos para r :

z = h + b   s e n   β - c cos ⁡ β

z ˙ = b cos ⁡ β + c   s e n   β   β ˙

z ¨ = b cos ⁡ β + c   s e n   β   β ¨ + c cos ⁡ β - b   s e n   β   β ˙ 2

Passo 2

Agora, vamos substituir os seguintes valores:

b = 300   m m                     c = 200   m m                     β = 30 °

β ˙ = 10 π 180 = 0,1745   r a d / s

β ¨ = 20 π 180 = 0,3491   r a d / s 2

nas equações obtidas no passo anterior:

r = 300 cos ⁡ 30 ° + 200   s e n   30 ° = 359,8   m m

r ˙ = 200 cos ⁡ 30 ° - 300   s e n   30 ° 0,1745 = 4,049   m m / s

r ¨ = 200 cos ⁡ 30 ° - 300   s e n   30 ° 0,3491 - 200   s e n   30 ° + 300 cos ⁡ 30 ° 0,1745 2

r ¨ = - 2,855   m m / s 2

Para z , só precisaremos da segunda derivada, como veremos adiante:

z ¨ = 300 cos ⁡ 30 ° + 200   s e n   30 ° 0,3491 + 200 cos ⁡ 30 ° - 300   s e n   30 ° 0,1745 2

z ¨ = 126,3   m m / s 2

Por último, como a base do robô gira com velocidade (constante) perpendicular a r , temos essa velocidade na direção de e θ . Portanto,

θ ˙ = ω = 40 π 180 = 0,6981   r a d / s

θ ¨ = 0

Passo 3

Show! Agora temos todos os valores para substituir na expressão da aceleração em coordenadas cilíndricas:

a = r ¨ - r θ ˙ 2   e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙   e θ + z ¨   k

Então as componentes são:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 2,855 - 359,8 0,6981 2 = - 178 , 2   m m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 359,8 0 + 2 4,049 0,6981 = 5,653   m m / s 2

a z = z ¨ = 126,3   m m / s 2

Enfim, podemos calcular o módulo da aceleração:

a = a r 2 + a θ 2 + a z 2 = - 178,2 2 + 5,653 2 + 126,3 2

a = 218 ,   5   m m / s 2

Resposta

a = 218 ,   5   m m / s 2

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