Enunciado

A roda de 80 mm de raio mostrada na figura rola para a esquerda com uma velocidade de 900 mm/s. Sabendo que a distância AD é 50 mm, determine a velocidade do cursor e a velocidade angular da barra AB quando (a) β = 0 e (b) β = 90 ° .

Passo 1

a) Bora pra questão 71 agora, meus caros (as)!

Bom! Temos que determinar a determine a velocidade do cursor e a velocidade angular da barra AB conforme varia o ângulo

Pois muito bem! Antes de qualquer coisa, vamos a algumas convenções...

Primeiro o sentido de rotação... Normalmente costumamos chamar o sentido horário de negativo e o sentido anti-horário de positivo.

Continuando nosso raciocínio, bora fazer um esboço do nosso sistema destacando os vetores posição de nosso interesse... Primeiro bora fazer o esboço de quando temos um ângulo β = 0 °

Como podemos ver na figura acima, em C a velocidade é nula...

v C = 0

E em D , a velocidade é dada, como podemos ver pelo enunciado, por...

v D = 900   m m / s   ←

Passo 2

Pronto! As informações mais importantes, já temos em mãos!

E uma vez que sabemos o valor de v D , temos que a velocidade angular da roda será de...

ω A D = v D C D = 900   m m / s 80   m m

ω A D = 11,25   r a d / s   ⤿

No sentido anti-horário, porque se o braço tende a se deslocar para a esquerda isso implica que a roda vai ter que girar no sentido anti-horário.

Sabendo então, a velocidade angular da roda, a velocidade em C vai ser dada pela seguinte expressão:

v A = C A ω A D

Onde C A é dado por...

C A = C D - A D

C A = 80   m m - 50   m m

C A = 30   m m

Desse modo;

v A = C A ω A D

v A = 30   m m ( 11,25   r a d / s )

v A = 337,5   m m / s   ←

Passo 3

Com isso, olhando a figura podemos obter a velocidade em B , que será dada por...

v B = v A + v B / A ⏟ ≅ 0

v B = v A

v B = 337,5   m m / s   ←

v B ≈ 338   m m / s   ←

E a velocidade de D   em relação à A vai valer zero...

v D / A = 0

Consequentemente a velocidade angular da barra A B vai valer...

v A / D = ω A B r A / D

ω A B = 0 r A / D

ω A B = 0   r a d / s

Passo 4

b) Continuando nosso raciocínio. Vamos fazer o esboço agora do que acontece quando β vale 90 ° .

Bem! Já sabemos que...

v C = 0

ω A D = 11,25   r a d / s   ⤿

Com base nisso, podemos determinar a velocidade em A , que segundo a figura vai valer...

v A = C A ω A D

Passo 5

Falta obter C A !

É pra já! Pela figura esboçada, temos que...

tan ⁡ γ = D A D C = 50   m m 80   m m

γ = tan - 1 ⁡ 5 8 = 32,005 °

E com isso, podemos obter C A com base na seguinte relação...

C A = D C cos ⁡ γ

C A = 80   m m cos ⁡ 32,005 °

C A = 94,34   m m

Desse modo...

v A = C A ω A D

v A = 94,34   m m ( 11,25   r a d / s )

v A = 1061,3   m m / s   ⦩   32,005 °

Agora, vamos tratar de obter v B e v B / A !

Ora bolas! É só dar uma olhada no triângulo de velocidades que esboçamos e usar a lei dos senos...

v B sen ⁡ δ = v B / A sen ⁡ γ = v A sen ⁡ ( 90 ° + ϕ )

O ângulo ϕ , nós podemos obter como sendo igual à...

ϕ = se n - 1 ⁡ C D A B = se n - 1 ⁡ 80   m m 250   m m

ϕ = 18,663 °

E consequentemente, o ângulo δ vai valer...

δ = 180 ° - γ - ( 90 ° + ϕ )

δ = 180 ° - 32,005 ° - ( 90 ° + 18,663 ° )

δ = 39,332 °

Assim, podemos obter o que queremos...

v B sen ⁡ δ = v B / A sen ⁡ γ = v A sen ⁡ ( 90 ° + ϕ )

v B sen ⁡ 39,332 ° = v B / A sen ⁡ 32,005 ° = 1061,3   m m / s sen ⁡ 108,663 °

v B será igual à...

v B sen ⁡ 39,332 ° = 1061,3   m m / s sen ⁡ 108,663 °

v B = ( 1061,3   m m / s ) sen ⁡ 39,332 ° sen ⁡ 108,663 °

v B = 710   m m / s   ←

E v B / A vai valer...

v B / A sen ⁡ γ = v A sen ⁡ ( 90 ° + ϕ )

v B / A = ( 1061,3   m m / s ) sen ⁡ 32,005 ° sen ⁡ 108,663 °

v B / A = 593,8   m m / s

Obtido v B / A , somos capazes de achar a velocidade angular da barra A B ...

v B / A = ω A B ( A B )

ω A B = v B / A A B

ω A B = 593 ,   8   m m / s 250   m m

ω A B = 2,37   r a d / s   ⤾

Pronto! Terminamos aqui! Até a próxima, guys!

Resposta

a)

v B ≈ 338   m m / s   ←

ω A B = 0   r a d / s

b)

v B = 710   m m / s   ←

ω A B = 2,37   r a d / s   ⤾

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