Enunciado

A roda e seu cubo possuem uma massa de 30   k g , com um raio de giração em relação ao centro de 450   m m . Um fio enrolado firmemente em torno de seu cubo está preso no suporte fixo, e a roda é liberada a partir do repouso sobre o plano inclinado. Se os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre a roda e o plano inclinado são 0,40 e 0,30 , respectivamente, calcule a aceleração a do centro da roda. Prove inicialmente que a roda desliza.

Passo 1

Primeiro queremos provar que a roda desliza. A melhor forma de fazer isso é descobrir o que seria necessário para a roda estar em equilíbrio:

Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção y :

∑ F y = N - P y = 0

N - m g cos ⁡ 60 ° = 0

N = 30 9,81 cos ⁡ 60 ° = 147,15   N

E para montar uma equação de equilíbrio dos momentos, vamos tomar o ponto A onde a força T age, dessa forma vamos anular o seu momento, e o das forças P y e N :

∑ M A = P x 0,3 - F 0,6 = 0

m g sen ⁡ 60 ° 0,3 - F 0,6 = 0

F = 30 9,81 sen ⁡ 60 ° 0,3 0,6 = 127,42

E agora que conhecemos a força de atrito F e a normal N , podemos calcular o coeficiente μ S que faria a roda manter o equilíbrio:

F = μ s N         ⇒         μ s = 127,42 147,15 = 0,866

Mas o coeficiente de atrito estático da roda com o nosso plano é apenas 0,4 , ou seja, é insuficiente para manter o equilíbrio, e portanto a roda desliza.

Passo 2

Agora vamos encontrar a aceleração do centro de massa. Já que vimos que a roda desliza, vamos entrar em um regime de atrito dinâmico, e podemos calcular a força F de atrito:

F = μ c N = 0,3 147,15 = 44,1   N

E aplicando a segunda lei de Newton na direção x (que é a direção da aceleração a que queremos encontrar):

∑ M x = m a

P x - T - F = 30 a

m g sen ⁡ 60 ° - T - 44,1 = 30 a

210,77 - T = 30 a

Até aqui temos duas variáveis deconhecidas ( T e a ), mas apenas uma equação. Precisamos encontrar mais uma.

Passo 3

Vamos tomar a soma dos momentos em relação ao centro de massa:

∑ M c m = I - α

Onde o momento de inércia pode ser calculado a partir do raio de giração:

I - = m k 2 = 30 0,450 2 = 6,075

E a aceleração angular do “cubo” se relaciona com a aceleração a do centro de massa pela seguinte equação:

α = a 0,300

Então:

∑ M c m = 6,075 0,300 a

E quais são as forças que produzem momento em relação ao centro de massa? T e F :

∑ M c m = 0,300 T - F 0,600 = 6,075 0,300 a

Mas já conhecemos o valor de F , então:

0,3 T - 26,46 = 20,25 a

Passo 4

Agora ficamos com um sistema de duas equações:

0,3 T - 26,46 = 20,25 a 210,77 - T = 30 a

Vamos multiplicar a segunda equação por 0,3 e somar co a segunda:

0,3 T - 26,46 + 0,3 210,77 - T = 20,25 + 0,3 30 a

36,771 = 29,25 a

a = 1,256   m / s 2

Resposta

A aceleração do centro de massa é a = 1,256   m / s 2 ;

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