Enunciado

A roda desbalanceada possui uma masas de 10   k g e rola sem deslizar sobre a superfície horizontal. Quando o centro de massa G passa a linha horizontal através de O como mostrado, a velocidade angular da roda é de 2   r a d / s . Calcule para esse instante e aforça normal N e a força de atrito F agindo sobre a roda em seu ponto de contato com a superfície horizontal. A roda possui um raio de giração em relação ao seu centro de massa de 64   m m .

Passo 1

Vamos começar representando as forças que agem sobre a roda:

E vamos representar também as forças resultantes que agem sobre o centro de massa.

Sabemos que a roda está girando com certa aceleração angular. Isso quer dizer que temos uma aceleração centrípeta m r ω 2 que mantém G girando em torno de O , uma aceleração tangencial m r - α que aumenta a velocidade angular de G , e uma aceleração linear a 0 associada à translação da roda:

Passo 2

Agora podemos começar a montar nossas equações. Primeiro, para encontrar a aceleração a 0 , vamos considerar os momentos em relação ao ponto P onde a roda faz contato com o chão:

∑ M P = I - α + ∑ m a - d

E a única força que produz momento em torno do ponto P é o peso, que está a uma distância perpendicular r - = 0,04   m :

∑ M P = m g r -

O momento de inércia pode ser calculado utilizando o raio de giração:

I - = m k - 2

E para o último termo precisamos olhar para o nosso desenho das acelerações, lembrando de multiplicar cada uma por sua distância perpendicular até o ponto P :

∑ m a - d = m r - α r - + m a 0 - m r - ω 2 r

Então:

m g r - = m k - 2 + m r - 2 α + m r a 0 - m r - ω 2 r

Vamos lembrar de uma relação entre α e a 0 :

a 0 = α r

m g r - = m k - 2 a o r + m r - 2 a 0 r + m r a 0 - m r - ω 2 r

Agora vamos dividir tudo por m e isolar a 0 :

g r - = a 0 k - 2 r + r - 2 r + r - r - ω 2 r

9,81 0,04 = a 0 0,064 2 0,100 + 0,04 2 0,100 + 0,100 - 0,04 2 2 ( 0,100 )

0,15696   a 0 = 0,4084

a 0 = 2,60   m / s 2

Passo 3

Agora podemos aplicar a segunda lei de Newton nas direções horizontal e vertical para encontrar F e N , respectivamente:

∑ F x = m a - x

F = m a - m r - ω 2

F = m a - r - ω 2 = 10 2,60 - 0,04 2 2 = 24,4   N

E na direção vertical:

∑ F y = m a - y

N - m g = - m r - a 0 r

N = m g - a 0 r - r = 10 9,81 - 2,60 0,04 0,100 = 87,7   N

Resposta

As forças nesse instante são: F = 24,4   N e N = 87,7   N .

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