Enunciado

Sabendo que a máxima tensão admissível é 45 MPa, determine a intensidade do maior momento M que pode ser aplicado aos componentes mostrados.

Passo 1

Tá legal, vamos dividir a seção transversal da viga em 2 partes, a parte vertical superior será a 1 e a parte horizontal que está embaixo será a 2. Agora nós vamos escrever a expressão que vamos utilizar para encontrar a distância do centro de curvatura C até a superfície neutra. Conforme vimos nessa seção, a equação para essa distância foi apresentada na equação 4.66

R = A ∫ d A r

No entanto, nós dividimos nossa seção transversal em 2, então, nossa fórmula deverá levar em conta essas 2 seções separadas, para isso, faremos o somatório dos termos, chegando em:

R = ∑ A i ∑ ∫ d A r

Reescrevendo a expressão abrindo o termo dA e resolvendo, teremos:

R = ∑ A i ∑ ∫ b i d r r = ∑ A i ∑ b i ∫ r i r i + 1 d r r → R = ∑ A i ∑ b i l n r i + 1 r i

Em que A i é a área da seção em análise, b i a sua espessura e r i o raio interno e r i + 1 o raio externo da seção transversal. Sendo assim, precisamos encontrar esses termos para todas as seções. Vamos precisar também da distância média do centroide da seção em estudo, dada por r - . Como temos uma seção composta, a equação 4.67, em somatório, se torna:

r - = ∑ A i r - i ∑ A i

Passo 2

Vamos começar os cálculos pela primeira seção superior (seção 1). Vamos calcular primeiro a sua área, que será dada por:

A = b h = 0,036 0,135 → A 1 = 4,86.10 - 3   m 2

Agora vamos definir os raios interno e externo. Pela figura, o raio interno será:

r 1 1 = 150   m m = 0,15   m

E o raio externo, por sua vez, será:

r 2 = 150 + 135 → r 2 1 = 285   m m = 0,285   m

Sendo assim, o raio médio da seção será:

r - = 150 + 135 2 → r - 1 = 217,5   m m = 0,2175   m

Agora vamos encontrar os valores para a área 2. Sua área será:

A = b h = 0,108 0,045 → A 2 = 4,86.10 - 3   m 2

Agora vamos definir os raios interno e externo. Pela figura, o raio interno será:

r 1 = 150 + 135 → r 1 2 = 285   m m = 0,285   m

E o raio externo, por sua vez, será:

r 2 = 285 + 45 → r 2 2 = 330   m m = 0,33   m

Sendo assim, o raio médio da seção será:

r - = 285 + 45 2 → r - 2 = 307,5   m m = 0,3075   m

Passo 3

Agora podemos calcular o R e r - lá do passo 1. Começando por R teremos:

R = ∑ A i ∑ b i l n r i + 1 r i = 4,86.10 - 3 + 4,86.10 - 3 0,036 ln ⁡ 0,285 0,15 + 0,108 ln ⁡ 0,33 0,285

R = 9,72.10 - 3 23,107.10 - 3 + 15,833.10 - 3 → R = 0,24961   m

Agora, para r - teremos:

r - = ∑ A i r - i ∑ A i = 4,86.10 - 3 ( 0,2175 ) + 4,86.10 - 3 0,3075 4,86.10 - 3 + 4,86.10 - 3

r - = 0,2625   m

Com esses dois valores, podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

e = 0,2625 - 0,24961 → e = 0,01289   m

Passo 4

Com essas informações conseguimos encontrar o máximo momento admissível em A, através da equação 4.71, onde temos:

σ A = M A r A - R A e r A

Isolando o Momento dessa equação, teremos:

M A = σ A A e r A r A - R

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

M A = 45.10 6 4,86.10 - 3 + 4,86.10 - 3 ( 0,01289 ) ( 0,15 ) 0,15 - 0,24961

M A = - 8490,2   N . m

Agora, vamos repetir o último cálculo, só que para o ponto B, em r B = 330   m m , para descobrir o momento máximo nesse ponto, então teremos:

M B = σ B A e r B r B - R

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

M B = 45.10 6 4,86.10 - 3 + 4,86.10 - 3 ( 0,01289 ) ( 0,33 ) 0,33 - 0,24961

M B = 23144,3   N . m

Então, o maior momento admissível deve ser o menor valor (em módulo) dos momentos encontrados em A e B, então teremos:

M m a x = M A → M m a x = 8490,2   N . m

Resposta

M m a x = 8490,2   N . m

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