Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto C e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

18 - R A 3,6 + 40 2,4 1,2 - 27 = 0

3,6 R A = 106,2 → R A = 29,5   k N

Agora podemos escrever a equação para a força cortante, já que temos todas as forças aplicadas e os pontos onde são aplicadas, só lembrando que como temos carregamento distribuído, ele possui ordem 1 na equação de singularidade para a força cortante. Sendo assim, considerando a origem no ponto A, com x = 0 , a equação para a força cortante será:

V = 29,5 - 40 < x - 1,2 > 1

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 29,5 - 40 < x - 1,2 > 1 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 29,5 x - 40 2 < x - 1,2 > 2 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso, temos dois momentos, um aplicado no ponto A e outro no ponto C. Como consideramos a origem no ponto A e o final do comprimento da viga está no ponto C, só precisamos considerar o momento localizado no ponto A, então nossa constante de integração será:

C = - 18

Então a equação do momento será:

M = 29,5 x - 20 < x - 1,2 > 2 - 18

Passo 3

Agora para a letra (b), para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:

V = 29,5 - 40 < x - 1,2 > 1 = 0

Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. No entanto, olhando pra função acima, vemos que só faz sentido (só teremos um valor de x para encontrar se considerarmos o intervalo 1,2 < x < 3,6 ), então, nesse intervalo, a equação acima se torna:

29,5 - 40 x - 1,2 = 0 → 29,5 - 40 x + 48 = 0

x = 1,9375   m

Essa é a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de x na equação que encontramos para o momento lá no passo 2. Então, fazendo isso, teremos:

M m a x = 29,5 ( 1,9375 ) - 20 < 1,9375 - 1,2 > 2 - 18

M m a x = 57,156 - 20 0,7375 2 - 18 → M m a x = 28,28   k N . m

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga I 1310 X 52, então vamos ter que recorrer ao apêndice C para pegar suas propriedades. Precisamos do momento de inércia e da altura da viga, já que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:

I = 94,9 . 10 6   m m 4

h = 305   m m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = 28280 0,305 2 94,9 . 10 6 . 10 - 12 → σ m a x = 45,44   M P a

Resposta

a :   V = 29,5 - 40 < x - 1,2 > 1

a :   M = 29,5 x - 20 < x - 1,2 > 2 - 18

b :   σ m a x = 45,44   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que a tensão admissível para ao aço é de 24k s i , selecione a viga de perfil I mais econômica para suportar o carregamento mostrado.
Sabendo que a tensão admissível para ao aço é de 165M P a , selecione a viga de mesa larga mais econômica para suportar o carregamento mostrado.
Sabendo que a viga A B está em equilíbrio sob o carregamento mostrado, trace os diagramas de força cortante e momento fletor para essa viga e determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fl
A viga A B suporta uma força uniformemente distribuída de 2k N / m e duas forças concentradas P e Q . Foi determinado experimentalmente que a tensão normal provocada pelo momento fletor na borda infer
Sabendo que a tensão admissível para ao aço é de 160M P a , selecione a viga de mesa larga mais econômica para suportar o carregamento mostrado.