Enunciado

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Substitua o sistema de forças e de momentos binários por uma força resultante e um momento equivalente ao sistema no ponto P . Expresse os resultados na forma de vetores cartesianos.

Passo 1

Como temos uma única força atuando no sistema, a nossa substituição vai apenas trocar o ponto de aplicação da força F → , então continuamos com:

F → = 8   i ^ + 6   j ^ + 8   k ^   k N

Mas quando nós deslocarmos essa força para o ponto P , o momento produzido por ela vai mudar, e precisamos compensar isso com um novo momento.

Passo 2

Vamos calcular o momento resultante do sistema original em relação ao ponto P . Fazemos isso porque quando a força F → estiver em P , o momento gerado por ela será nulo em relação a esse ponto.

Então, para manter o mesmo efeito final no sistema, temos que aplicar um momento igual ao que existia antes;

∑ M → P = M → + r → × F →

O primeiro termo do lado direito é simplesmente o vetor de momento que foi dado no desenho:

M → = - 20   i ^ - 70   j ^ + 20   k ^   k N ∙ m

E o segundo termo é o produto vetorial de r → (que é o vetor positção que liga o ponto P ao ponto de aplicação da força F → ) e a própria força. Vamos começar escrevendo esse vetor r → :

r → = r → P O + r → O F

r → = 6   k ^ + - 6   i ^ + 5   j ^ + 5   k ^  

r → = - 6   i ^ + 5   j ^ + 11   k ^   m

Então:

r → × F → = i ^ j ^ k ^ - 6 5 11 8 6 8

r → × F → = 8 5 - ( 6 ) ( 11 ) i ^ + 8 11 - - 6 8 j ^ + [ - 6 6 - ( 8 ) ( 5 ) ] k ^

r → × F → = - 26   i ^ + 136   j ^ - 76   k ^   k N ∙ m

Agora é só substituir tudo na primeira fórmula:

∑ M → P = M → + r → × F →

∑ M → P = - 20   i ^ - 70   j ^ + 20   k ^   + - 26   i ^ + 136   j ^ - 76   k ^

∑ M → P = - 46   i ^ + 66   j ^ - 56   k ^   k N ∙ m

Pronto, esse é o momento que precisamos aplicar pararepôr” o que foi perdido com o deslocamento da força e com a eliminação do momento M .

Resposta

O sistema pode ser substituído pela força F → = 8   i ^ + 6   j ^ + 8   k ^   k N aplicada no ponto P e pelo momento M → = - 46   i ^ + 66   j ^ - 56   k ^   k N ∙ m .

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