Enunciado

Um terminal marítimo para descarga de trigo a granel de um navio é equipado com um tubo vertical com um bocal em A que suga o trigo para cima pelo tubo e o transfere para o edifício de armaznemaneto. Calcule as componentes x e y da força R → necessária para variar a quantidade de movimento de escoamento da massa para contornar a curva. Identifique todas as forças aplicadas externamente à curva e a massa em seu interior. O ar escoa através do tubo com 320   m m de diâmetro na taxa de 16   t por hora sob um vácuo de 230   m m demercúrio ( p = - 30,7   k P a manométrica) e carrega consigo 135   t de trigo por hora a uma velocidade de 40   m / s .

Passo 1

Vamos começar calculando as taxas de escoamento de massa do trigo e do ar:

m a r ' = 16 t h o r a = 16.10 3   k g 3600 = 4,44   k g / s  

E fazendo a mesma conta para o trigo:

m t r i ' = 135.10 3 3600 = 37,5   k g / s

Como a área do tubo é constante, a velocidade de entrada e saída do trigo também é:

v e n t = v s a í = 40   m / s

Passo 2

Agora vamos analisar as forças resultantes em cada direção, usando a equação do escoamento. Começando pela direção x :

∑ F x = m ' Δ v x = m ' ( v s a í x - v e n t x )

A velocidade v e n t de entrada é perpendicular a entrada do cano em A (veja a figura), ou seja, é perpendicular a direção x :

v e n t x = 0

E a velocidade v s a í de saída forma um ângulo de 60 ° com a vertical, então:

v s a í x = v s a í sen ⁡ 60 ° = 40 sen ⁡ 60 ° = 34,6   m / s

Agora é só substituir na fórmula:

∑ F x = m ' ( v s a í x - v e n t x )

∑ F x = m a r ' + m t r i ' 34,6 = 4,44 + 37,5 34,6 = 1   451   N

E agora podemos fazer a mesma coisa para a direção vertical:

∑ F y = m ' Δ v y

∑ F y = ( 4,44 + 37,5 ) ( v s a í y - v e n t y )

∑ F y = 41,94 - 40 cos ⁡ 60 ° - 40 ≅ - 2516   N

Então a força resultante necessária é:

R → = 1451   i ^ - 2   516   j ^   N

Passo 3

Agora falta identificar todas as forças aplicadas externamente à porção curvada do cano e à massa que passa por ela. Não precisamos calcular essa forças, só precisamos identifica-las.

Em primeiro lugar temos a força associado à pressão manométrica gerada pelo vácuo, que foi mencionado no enunciado. Além disso temos o peso do próprio cano e o peso da massa que transita por ali, e a tensão que o cano exerce sobre a massa para mantê-la em sua trajetória.

Ok, mas e as forças que mantém o cano na sua posição? Sendo bastante específicos, precisamos dizer que existe um momento fletor na posição C , já que o cano tende a se “curvar” para dentro com o peso do trigo, e existe uma tensão de cisalhamento na mesma posição, já que o guindaste “puxa” o cano para cima e o peso do trigo o “puxa para baixo”.

Resposta

A força resultante necessária é R → = 1451   i ^ - 2   516   j ^   N .

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