Enunciado

Determine as componentes da força que atuam paralela e perpendicular ao eixo da barra.

Passo 1

Falaa, aí! Ele quer a intensidade das componentes das forças na direção paralela a barra e na linha perpendicular a ela.

O que ele quer dizer é que queremos projetar a força F = 3 k N nessa barra e achar sua intensidade (seu módulo) e fazer o mesmo para a linha perpendicular a A O . Falou de projetar, cê lembra logo de produto escalar!

Como aqui a gente está em 3D, fica mais tranquilo usarmos formulação de vetor cartesiano, tá bem?

Então, a gente precisa escrever a força como um vetor e o nosso eixo da barra como vetor unitário e fazer o produto escalar entre eles.

Vem ver como fica!

Passo 2

Desejamos calcular as componentes da força que atuam paralela e perpendicular ao eixo da barra, para isso vamos primeiramente escrever F em termos dos vetores i , j   e   k que representam os eixos x , y   e   z , respectivamente. Dessa forma, vamos fazer nossa colinha de decomposição de vetores da seguinte forma

Agora, vamos atrás de cada uma das componentes do nosso vetor. Para os eixos x   e   y precisamos da força F decomposta no plano x y   usando o cos ⁡ θ = cos ⁡ 60 ° depois ajustá-la com relação ao ângulo de 30 ° . Começando para a componente i temos

Primeiro vamos decompor no vetor azul e depois no vermelho, sendo assim temos

F x y = F ⋅ cos ⁡ 60 ° = 3 ⋅ 1 2 = 1.5   k N

Agora, decompondo o vetor azul em relação ao vermelho

F x = F x y x = 1.5   k N ⋅ sin ⁡ 30 ° = 0,75   k N

Porém, como a componente i está para o lado negativo do eixo x vamos colocar um sinal de negativo nela, obtendo então - 0.75   i k N . Agora, vamos para o eixo y procedendo da mesma forma vamos decompor da seguinte forma

Nesse caso, teremos

F x y = F ⋅ cos ⁡ 60 ° = 3 ⋅ 1 2 = 1.5   k N

Agora, decompondo o vetor azul em relação ao vermelho

F y = F x y y = 1.5   k N ⋅ cos ⁡ 30 ° = 1,299   k N

Por fim, para a componente k   d o   e i x o   z a decomposição é mais simples basta encontrarmos o valor de F z (segundo a nossa cola, ele é o eixo vertical) que será dado por

F z = F ⋅ sin ⁡ 60 ° = 2,598   k N

Juntando todos os nossos componentes obteremos o seguinte

F = - 0,75   i + 1,299 j + 2,598   k   k N

Passo 3

Tendo o vetor F vamos calcular, agora, o vetor unitário que sai de O e vai para A = - 2 , 2,1 que aqui chamaremos de u a . Achamos esse vetor fazendo a coordenada final menos inicial. Aí o vetor unitário será dado pela divisão do vetor

u = A - 0 = - 2,2 , 1 - 0,0 , 0 = - 2,2 , 1

pelo seu módulo então, temos

u a = - 2   i + 2 j + 1   k - 2 2 + 2 2 + 1 2 = - 2 3 i + 2 3 j + 1 3 k

Passo 4

Agora que a gente tem o vetor da força e o vetor unitário na direção de A O , a gente acha a intensidade da força projetada na direção de A O fazendo o produto escalar entre esses vetores:

F a p r o j = F ⋅ u a = - 2 3 ⋅ - 0,75 + 2 3 ⋅ 1,299 + 1 3 ⋅ 2,598 = 2,232   k N

Lembrando que o produto escalar é feito termo a termo semelhante.

Passo 5

Para achar a componente perpendicular, vamos pensar assim. Com duas componentes F 1 e F 2   perpendiculares entre si de uma força, a gente consegue achar o módulo dessa força fazendo

F R = F 1 2 + F 2 2

No nosso caso, temos duas componentes perpendiculares entre si, que a gente achou F a o p a r   e a que a gente quer achar F a o p e r p , que está na direção normal a A O . E elas são componentes de F = 3 k N . Aí temos

F = F a o p e r p 2 + F a o p a r 2

Aí a gente pode isolar F a o p e r p e achar:

F a p e r p = 3 k N 2 - 2,232 k N 2 ≈ 2,0   k N

Pronto, está resolvido nosso problema. Até que foi fácil, né? rs

Resposta

F a p r o j = 2,232   k N

F a p e r p = 2,0   k N

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