Enunciado

Três forças são aplicadas à barra mostrada. Determinar as tensões, normal e de cisalhamento, nos três pontos indicados.

Passo 1

Algo muito importante antes de partir para as continhas, é definir nossos eixos coordenados. É interessante colocar o eixo x como normal à nossa seção. Vamos fazer assim:

Nesse tipo de questão com esforços combinados, a primeira coisa a fazer é substituirmos essas forças por um sistema de forças e momentos equivalentes, aplicados no centróide da seção que passa por a , b e c .

Isso vai representar os esforços internos nessa seção, que a gente vai usar para calcular as tensões. Temos essas componentes, em relação esse nosso sistema de coordenadas:

- Força axial entrando na seção:

F = - 220   000   N

- Cortantes:

V z = - 10   000     N ,     V y = 30   000     N

- Não temos torção porque todas as forças tem linha de ação passando por x .

- Momentos:

M z = 30   000 ⋅ h - 0,05 = 30   000 ⋅ 0,21 = 6   300   N ⋅ m

M y = 10   000 ⋅ h = 10   000 ⋅ 0,26 = 2   600   N ⋅ m

Passo 2

Bora calcular as propriedades geométricas da seção transversal:

A = 0,045 ⋅ 0,12 = 0,0054   m 2

I y = 0,12 ⋅ 0,045 3 12 = 9,1125 ⋅ 10 - 7   m 4

I z = 0,045 ⋅ 0,12 3 12 = 6,48 ⋅ 10 - 6   m 4

c A y = 0 ,     c A z = 0,0225   m

c B y = - 0,030   m ,     c B z = 0,0225   m

c C y = - 0,060   m ,     c C z = 0,0225   m

Passo 3

Agora é aplicar nossas fórmulinhas de tensão para o ponto a . A força axial e o momento em y geram tensão normal. O momento M z não vai gerar tensão normal porque a está na linha neutra desse esforço. A força axial causa compressão e o momento causa tração.

σ x = F A + M y c A z I y = - 220   000 0,0054 + 2   600 ⋅ 0,0225 9,1125 ⋅ 10 - 7

σ x = 23,46   M P a

E a gente vê que o cortante V y gera cisalhamento:

τ x y = V y Q I z t

Para a parte da seção acima do eixo a - a :

Q = A a y - a = 0,06 ⋅ 0,045 ⋅ 0,03 = 8,1 ⋅ 10 - 5   m 3

A expessura da seção é: t = 0,045   m . Aí fica:

τ x y = 30   000 ⋅ 8,1 ⋅ 10 - 5 6,48 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,045

τ x y = 8,3   M P a

Já o cortante V z não vai gerar cisalhamento porque o nosso ponto a está situado na fibra inferior da seção, em relação ao cortante.

Passo 4

Vamos para o ponto b . A força axial e os momentos geram tensão normal. A força gera compressão e os momentos geram tração:

σ x = F A - M z c B y I z + M y c B z I y = - 220   000 0,0054 - 6   300 ⋅ ( - 0,03 ) 6,48 ⋅ 10 - 6 + 2   600 ⋅ 0,0225 9,1125 ⋅ 10 - 7

σ x = 52,62   M P a

E a gente vê que o cortante V y gera cisalhamento:

τ x y = V y Q I z t

Para a parte da seção acima do eixo b - b :

Q = A b y - b = 0,03 ⋅ 0,045 ⋅ 0,045 = 6,075 ⋅ 10 - 5   m 3

A expessura da seção é: t = 0,045   m . Aí fica:

τ x y = 30   000 ⋅ 6,075 ⋅ 10 - 5 6,48 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,045

τ x y = 6,25   M P a

Já o cortante V z não vai gerar cisalhamento porque o nosso ponto b está situado na fibra inferior da seção, em relação ao cortante.

Passo 5

Vamos para o ponto c . A força axial e os momentos geram tensão normal. A força gera compressão e os momentos geram tração:

σ x = F A - M z c C y I z + M y c C z I y = - 220   000 0,0054 - 6   300 ⋅ ( - 0,06 ) 6,48 ⋅ 10 - 6 + 2   600 ⋅ 0,0225 9,1125 ⋅ 10 - 7

σ x = 81,79   M P a

E a gente vê que o cortante V y não gera cisalhamento, porque esse ponto está na fibra inferior da seção.

Já o cortante V z não vai gerar cisalhamento também, porque o nosso ponto c está situado na fibra inferior da seção, em relação ao cortante.

Resposta

(a) σ x = 23,46   M P a ,     τ x y = 8,3   M P a

(b) σ x = 52,62   M P a ,     τ x y = 6,25   M P a

(c) σ x = 81,79   M P a

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