Três molas e uma massa estão ligadas a uma barra rígida sem peso PQ, como mostra a figura. Determine a frequência natural de vibração do sistema.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Vamos utilizar a conservação de energia para calcular a constante elástica equivalente do conjunto formado pela mola 1, mola 2 e a barra PQ. Assumindo que este sistema tem deslocamentos angulares pequenos, podemos relacionar a energia potencial elástica do sistema como:

1 2 k e q 12 x 2 = 1 2 k 1 x 1 2 + 1 2 k 2 x 2 2

1 2 k e q 12 θ l 3 2 = 1 2 k 1 θ l 1 2 + 1 2 k 2 θ l 2 2 → k 12 e q l 3 2 = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2

k 12 e q = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 l 3 2  

Passo 2

Agora, vamos supor que o conjunto do passo anterior seja uma mola ligada em série com a mola três no ponto Q. Com isso, podemos calcular a constante elástica equivalente para um sistema como um todo:

1 k e q = 1 k 12 e q + 1 k 3

k e q = k 12 e q k 3 k 12 e q + k 3

k e q =   k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 k 3 l 3 2 l 3 2 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2  

k e q = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 k 3 k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2

Passo 3

A frequência natural pode ser calculada como:

ω n = k e q m = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 k 3 m k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2

Resposta

ω n = k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 k 3 m k 1 l 1 2 + k 2 l 2 2 + k 3 l 3 2

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