Enunciado

Um tubo de alumínio com a seção transversal mostrada sofre em sua seção média o impacto de um bloco de 6   k g , que se move na horizontal com uma velocidade de 2   m / s . Usando E = 70   G P a , determinar:

  1. a carga estática equivalente;
  2. a máxima tensão na viga;
  3. a máxima deflexão no ponto médio C da viga.

Passo 1

E aí, pessoas! Tudo fluindo? Bora fazer uma questão de carregamento produzido por impacto pra mandar super bem na sua prova? Não? Ânimo, pessoal!

A questão quer saber três informações:

  1. A carga equivalente P m . Ela é a força que provoca na barra as mesmas tensões que o choque provoca. Calculamos P m através da energia U m que a barra absorve no impacto. A energia U m é calculada pela equação abaixo que depende de P m .
  2. U m = P m y m 2

    onde y m é a máxima deflexão da viga.

    Além disso, a energia U m que a barra absorve é igual à energia cinética transferida do bloco D para a barra no momento do choque.

    U m = m v 0 2 2

    Igualando essas duas equações e encontrando uma equação para a máxima deflexão da viga y m que depende de P m no apêndice D , conseguimos achar P m .

  3. Para encontrar a maior tensão σ m na viga, temos que encontrar o maior momento M m na viga através do quilíbrio de momentos. Com esse termos, aplicamos a equação da tensão máxima de barras em flexão presente abaixo e achamos σ m .
  4. σ m = M m c I

  5. Por fim, encontramos y m reorganizando a primeira equação de U m !

U m = P m y m 2       ⟹       y m = 2 U m P m

Os dados que temos para achar P m , σ m e y m se encontram na figura abaixo.

R A e R B são as reações causadas pelas restrições presentes nos pontos A e B respectivamente.

Após entender tudo isso, podemos calcular P m no próximo passo.

Passo 2

A primeira etapa para calcular P m é achar U m através da equação da energia cinética do bloco.

U m = m v 0 2 2       ⟹       U m = 6 × 2 2 2       ⟹       U m = 12   J

Antes de substituir esse valor de U m na primeira equação do passo 1, temos que obter a fórmula de y m em função de P m que está presente no apêndice D .

y m = P m L 3 48 E I

Substituindo essa fórmula na equação de U m , somos capazes de achar uma fórmula pra P m .

U m = P m y m 2       ⟹       U m = P m P m L 3 48 E I 2       ⟹       P m = 96 E I U m L 3

Antes de substituir os dados na equação acima, precisamos achar o valor do momento de inércia I do tubo. Ele é encontrado pela fórmula abaixo.

I = b h 3 12 - b - 2 t h - 2 t 3 12

I = 80 × 100 3 12 - 80 - 2 × 10 100 - 2 × 10 3 12

I = 4,106667 × 10 6   m m 4

Ainda não podemos substituir os valores que temos na equação de P m . Antes, temos que passar E de G P a pra P a multiplicando E por 10 9 e converter I de m m 4 pra m 4 multiplicando por 10 - 12 .

P m = 96 E I U m L 3     ⟹     P m = 96 × 70 × 10 9 × 4,106667 × 10 - 6 × 12 2 × 0,9 3   ⟹   P m = 7535,5   N

Aeeee! Achamos a resposta da letra (a) da questão!

Passo 3

Agora, vamos calcular a máxima tensão σ m presente na viga. Para isso, temos que achar o momento fletor máximo M m presente na viga. Esse momento fletor máximo se encontra no centro da viga. Mas antes de achá-lo, precisamos achar quanto vale R A e R B . Fazemos isso através do equilíbrio das forças aplicadas sobre a barra. A soma dessas forças tem que dar 0 .

- P m + R A + R B = 0

O menos na frente do P m é colocado, porque essa força está apontando para baixo.

Como a barra e as forças aplicadas nela são simétricas, R A é igual a R B . Logo.

- P m + R A + R B = 0

- P m + R A + R A = 0

R A = P m 2       ⟹       R A = 7535,5 2       ⟹       R A = R B = 3767,8   N

Para achar M m precisamos dividir a barra A B em dois e fazer o equilíbro de momentos no ponto central da parte esquerda da barra.

Como o momento M A da força R A faz a barra girar no sentido horário, colocamos um sinal de menos na frente dele.

- M A + M m = 0       ⟹     - R A × L 2 + M m = 0       ⟹       M m = R A × L 2

Substituindo os valores, achamos:

M m = 3767,8 × 0,9       ⟹       M m = 3391,02   N × m

Antes de substituir M m na equação de σ m , temos que achar a distância c entre o ponto de maior tensão no perfil da viga e o centro da viga. c é igual à metade da altura h do perfil da viga.

c = h 2       ⟹       c = 100 2       ⟹       c = 50   m m       ⟹       c = 0,05   m

Substituindo os dados na equação de σ m , achamos:

σ m = M m c I       ⟹       σ m = 3391,02 × 0,05 4,106667 × 10 - 6       ⟹       σ m = 41,29 × 10 6   P a

Pronto! A letra (b) da questão também está feita!

Passo 4

Nesse passo, resolvemos a letra (c) da questão, achamos y m através da fórmula que deduzimos no passo 1.

y m = 2 U m P m       ⟹       y m = 2 × 12 7535,5       ⟹       y m = 0 , 00318   m

Fooooi! Essa é a resposta da letra (c) do problema! Acabamos com a questão!

Resposta

a   P m = 7535,5   N

b   σ m = 41,29 × 10 6   P a

c   y m = 0,00031 8   m

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