Enunciado

Para a viga prismática mostrada, determinar a declividade no ponto D .

Passo 1

Fala, meus amados e minhas amadas! Tudo show de bolinha? Pronto para esse exercício de cálculo de declividade pelo Teorema de Castigliano?

O enunciado pede para a gente calcular o ângulo de inclinação θ D (também chamada de declividade) no ponto D da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício M 0 que é aplicado nesse ponto D . A imagem abaixo mostra essa situação.

Esse momento M 0 vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga M como se M 0 de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular θ D através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

θ D = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

onde ∂ M ∂ M 0 é a derivada parcial do momento fletor M em relação ao momento fictício!

Depois desse blábláblá, vamos começar a resolver o exercício calculando M .

Passo 2

Precisamos achar M pra achar θ D . Fazemos isso, dividindo a viga em duas partes (uma esquerda e outra direita). O M será encontrando calculando o equilíbrio de momentos da parte esquerda da viga. Se a parte esquerda incluir apenas a força distribuída w teremos:

Faremos o equilíbrio dessa parte esquerda em relação ao ponto x . A equação de equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos deve valer zero.

M w + M = 0

∫ o x w x - x ' d x ' + M = 0

w x 2 2 + M = 0

M = - w x 2 2

Conseguimos achar um valor para M , mas M tem um segundo valor. Quando a parte esquerda da viga inclui o momento M 0 , esse momento fletor passa a ter outro valor.

M w + M D + M = 0

w x 2 2 + M 0 + M = 0

M = - w x 2 2 - M 0

Com esses dois valores de M , podemos começar a calcular θ D , determinando os valores de ∂ M ∂ M 0 .

Passo 3

Como existem dois valores de M , existem dois valores de ∂ M ∂ M 0 . Um para x entre 0 e L 2 e outro para x entre L 2 e L . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ - w x 2 2 ∂ M 0

Como o termo - w x 2 2 não possui a variável M 0 , essa derivada vale zero.

∂ M ∂ M 0 = 0

Agora, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ M 0 para o segundo valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ - w x 2 2 - M 0 ∂ M 0

∂ M ∂ M 0 = - 1

Agora podemos achar θ D .

Passo 4

Como ∂ M ∂ M 0 e M possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula θ D em duas. Uma que vai de 0 a L 2 com os primeiros valores de ∂ M ∂ M 0 e M outra que vai de L 2 a L com os outros valores de ∂ M ∂ M 0 e M .

θ D = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

θ D = ∫ 0 L 2 M E I ∂ M ∂ M 0   d x + ∫ L 2 L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ M 0 e M nas integrais, podemos definir M 0 = 0 logo para facilitar a integração. Por conta disso, o segundo valor de M vale:

M = - w x 2 2 - M 0

M = - w x 2 2

Agora sim fica melhor de substituir ∂ M ∂ M 0 e M nas integrais.

θ D = ∫ 0 L 2 - w x 2 2 E I × 0   d x + ∫ L 2 L - w x 2 2 E I - 1   d x

θ D = ∫ L 2 L w x 2 2 E I   d x

Integrando a função:

θ D = w x 3 6 E I L 2 L

Substituindo os limites de integração:

θ D = w L 3 6 E I - w L 3 48 E I

θ D = 7 P L 2 48 E I

Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!

Resposta

θ D = 7 P L 2 48 E I

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