Enunciado

Uma única força vertical P é aplicada a um poste curto de aço conforme mostrado. Extensômetro localizados em A, B e C indicam as seguintes deformações:

ε A = - 500   μ             e               ε B = - 1000   μ             e               ε C = - 200   μ

Sabendo que E = 29 × 10 6   p s i , determine:

  1. A intensidade de P;
  2. A linha de ação de P
  3. A deformação correspondente a aresta escondida do poste, onde x = - 2,5 i n   e   z = - 1,5 i n .

Passo 1

Para essa questão temos três itens a serem resolvidos, primeiro determinar a força que causa essas deformações nos pontos A, B e C e o respectivo braço de alavanca que causaria essas deformações.

Para isso temos que saber o seguinte, se temos deformações, temos como calcular tensões pela seguinte fórmula:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

σ C = E ε C

Mas pensa no seguinte, se queremos determinar as cargas que agem na seção, e temos as tensões, podemos pensar da seguinte forma.

  • As tensões vão ser causadas pela carga axial que age na nossa seção, ou seja, a carga P espalhada pela área da seção,
  • E como essa carga P tem dois braços de alavanca, ela também vai causar dois momento fletor, que também vai contribuir na nossa tensão.

Sendo assim, também podemos escrever as nossas tensões pela seguinte equação.

σ A = - P A - M x z A I x + M z x A I z

σ B = - P A - M x z B I x + M z x B I z

σ c = - P A - M x z c I x + M z x C I z

Tendo essas três relações, precisamos agora começar a determinar o que temos, sendo assim podemos anotar no próximo passo.

Passo 2

  • Dados do enunciado
  • Pelos dados do enunciado temos que:

    ε A = - 500   .   10 - 6 i n i n             e               ε B = - 1000   .   10 - 6 i n i n           e               ε C = - 200   .   10 - 6   i n / i n

    E = 29 × 10 6 p s i = 29 × 10 3   k s i  

  • Dados da seção
  • Sabemos que a nossa seção é dada com as seguintes dimensões.

    A área da seção vai ser feita da seguinte maneira:

    A = 3   x   5 = 15 i n 2

    E o momento de inércia é calculado pela seguinte equação:

    I x = 5 × 3 3 12 = 11,25   i n 4

    I z = 3 × 5 3 12 = 31,25   i n 4

  • Dados de z e x para determinar o cálculo das tensões em A, B e C.

Sendo assim teremos que:

Calculando as tensões pela deformação, teremos que:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

σ c = E ε c

σ A = 2 9   .     10 3 - 500   .   10 - 6 = - 14,5   k s i

σ B = 29   .     10 3 - 1000   .   10 - 6 = - 29   k s i

σ C = 29   .     10 3 - 200   .   10 - 6 = - 5,8   k s i

Analisando o outro grupo de fórmulas, temos que:

σ A = - P A - M x z A I x + M z x A I z

σ B = - P A - M x z B I x + M z x B I z

σ c = - P A - M x z c I x + M z x C I z

Substituindo temos que:

σ A = - P 15 - M x 1,5 11,25 + M z ( - 2,5 ) 31,25

σ B = - P 15 - M x 1,5 11,25 + M z 2,5 31,25

σ c = - P 15 - M x ( - 1,5 ) 11,25 + M z 2,5 31,25

E assim tem-se que:

- 14,5 = - 0,0667 P - 0,1333 M x - 0,08 M z

- 29 = - 0,0667 P - 0,1333 M x + 0,08 M z

- 5,8 = - 0,0667 P + 0,1333 M x + 0,08 M z

Resolvendo o sistema, obtemos que:

P = 152,3   k i p s

M x = 87   k i p   .   i n

M z = - 90,625   k i p   .   i n

E assim resolvemos o item a) descobrimos o valor da carga P.

Passo 3

Para o item B) precisamos da linha de ação, e como temos o momento fletor, podemos lembrar que o cálculo de momento para cada uma das direções pode ser dado por:

M z = - P x

M x = P z

Assim substituindo o que temos, teremos que as linhas de ações serão dadas por:

x = - M z P = - ( - 90,625 ) 152,3 = 0,595   i n

z = M x P = 87 152,3 = 0,571   i n

E assim resolvemos o item B)

Passo 4

E para o item C), queremos determinar a deformação no ponto escondido, para isso temos que lembrar que a equação de tensão é determinada por:

σ D = - P A - M x z D I x + M z x D I z

Pelo enunciado nos é dito que x = - 2,5 i n   e   z = - 1,5 i n e o resto dos valores nos já temos, assim substituindo teremos que:

σ D = - 152,3 15 - 87 - 1,5 11,25 + - 90,625 - 2,5 31,25 = 8,70   k s i = 8,70 k i p i n 2

E sabemos que:

σ D = E ε D

Substituindo:

8,70 k i p i n 2 = 29   .     10 3   k i p i n 2 ε D

ε D = 8,70 29   .     10 3 = 3 × 10 - 4 i n i n = 300   μ

Resposta

  1. P = 152,3   k i p s
  2. x = 0,595   i n     e       z = 0,571   i n
  3. ε D = 300   μ
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