Enunciado

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.

  1. Ponto A;
  2. Ponto B;
  3. Ponto D.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como a seção é simétrica, não precisamos determinar a LN, porque ela já vai estar no meio das seções, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Olhando a seção Z apenas com o momento nessa direção teremos que:

    I z z = B h 3 12 = 12,7   .     38,1 3 12 = 58533   m m 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    σ D = - M z y D I z z

    Com isso teremos que:

    M z = - 58,7   k N m = - 58700   N m m

    I z z = 58533   m m 4

    y A = 19,05   m m

    y B = 19,05   m m

    y D = - 19,05   m m

    σ A = - M z y A I z z = - - 58700 N m m 19,05   m m 58533   m m 4 = 19,1 N m m 2 = 19,1   M P a

    σ B = - M z y B I z z = - - 58700 N m m 19,05   m m 58533   m m 4 = 19,1   M P a

    σ D = - M z y D I z z = - - 58700 N m m - 19,05 m m 58533   m m 4 = - 19,1   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Agora temos que tomar um cuidado, o momento de inércia é na direção y, certo? Ou seja, na nossa fórmula de momentos de inércia, o B SEMPRE é paralelo ao eixo analisado, nesse caso o y, e H SEMPRE é perpendicular ao eixo analisado, que é o eixo y, sendo assim teremos que:

I y y = B h 3 12 = 38,1   .     12,7 3 12 = 6504   m m 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

σ D = M y z D I y y

Com isso teremos que:

M y = 33,9   k N m m = 33900   N m m

I y y = 6504   m m 4

Z A = 6,35   m m

Z B = - 6,35   m m

Z D = - 6,35   m m

σ A = M y z A I y y = 33900   N m m 6,35   m m 6504   m m 4 = 33,1 N m m 2 = 33,1   M P a

σ B = M y z B I y y = 33900   N m m ( - 6,35 )   m m 6504   m m 4 = - 33,1   M P a

σ D = M y z D I y y = 33900   N m m ( - 6,35 )   m m 6504   m m 4 = - 33,1   M P a

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A, B e D juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = 19,1 + 33,1 = 52,2   M P a  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = 19,1 - 33,1 = - 14,0   M P a  

Sendo assim teremos que para o item c):

σ D = - 19,1 - 33,1 = - 52,2   M P a  

Resposta

  1. σ A = 52,2   M P a  
  2. σ B = - 14   M P a
  3. σ D = - 52,2   M P a
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