Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine o valor máximo do momento fletor na viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

- R A 3 + 40 2,4 + 25 ( 1,8 ) 0,6 + 0,9 + 40 0,6 = 0

3 R A = 187,5 → R A = 62,5   k N

Opa! Agora, como temos um carregamento distribuído, devemos lembrar que nesse caso, prolongamos o carregamento dado até o final da viga e colocamos um carregamento de mesma intensidade, mas sentido oposto, na porção onde não tínhamos carregamento no sistema original. Ou seja, o carregamento equivalente ficará assim:

Com essa adição, as forças fornecidas no enunciado e a reação encontrada em A, podemos escrever a equação para a força cortante, lembrando que o carregamento possui ordem 1 na equação da força cortante. Sendo assim, a equação para a força cortante será:

V = 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 62,5 x - 25 2 < x - 0,6 > 2 + 25 2 < x - 2,4 > 2 - 40 < x - 0,6 > 1 - 40 < x - 2,4 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 62,5 x - 12,5 < x - 0,6 > 2 + 12,5 < x - 2,4 > 2 - 40 < x - 0,6 > 1 - 40 < x - 2,4 > 1

Passo 3

Agora para a letra (b), precisamos encontrar o valor do momento máximo. Sabemos que temos um valor máximo ou mínimo para uma função quando sua derivada é zero, então vamos igualar a derivada da equação momento a zero e encontrar a localização de x . No entanto, como vimos no passo 2, a derivada da função momento é justamente a equação para a força cortante, então, igualando essa equação a zero, temos:

V = 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0 = 0

Aqui, como estamos lidando com função de singularidade, precisamos definir um intervalo de x para estudo, no nosso caso, vamos adotar o intervalo referente ao meio da viga, onde provavelmente teremos o maior valor de momento, então nosso intervalo será:

0,6 < x < 2,4

Então, igualando a equação da força cortante a zero nesse intervalo, teremos:

V = 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0 = 0

62,5 - 25 x - 0,6 + 25 0 - 40 1 - 40 0 = 0 → 62,5 - 25 x + 15 - 40 = 0

x = 1,5   m

Então, substituindo esse valor de x na equação para o momento encontrada lá no passo 2, teremos:

M = 62,5 ( 1,5 ) - 12,5 < 1,5 - 0,6 > 2 + 12,5 < 1,5 - 2,4 > 2 - 40 < 1,5 - 0,6 > 1 - 40 < 1,5 - 2,4 > 1

M = 93,75 - 12,5 0,9 2 - 12,5 0 - 40 0,9 - 40 ( 0 )

M = 47,62   k N . m

Passo 4

Agora para tirar a limpo, vamos calcular o valor do momento máximo no intervalo da extremidade esquerda e direita. Então, começando pela extremidade esquerda, nosso intervalo será:

0 < x < 0,6

Então, igualando a equação da força cortante a zero nesse intervalo, teremos:

V = 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0 = 0

62,5 - 25 0 + 25 0 - 40 0 - 40 0 = 0

Consegue ver que nem conseguimos achar um valor de x nesse caso? Então vamos somente calcular o valor do momento máximo nessa seção, que ocorre em x = 0,6   m , então, substituindo esse dado na equação do momento, teremos:

M = 62,5 ( 0,6 ) - 12,5 < 0,6 - 0,6 > 2 + 12,5 < 0,6 - 2,4 > 2 - 40 < 0,6 - 0,6 > 1 - 40 < 0,6 - 2,4 > 1

M = 37,5 - 12,5 0 2 - 12,5 0 - 40 0 - 40 ( 0 )

M = 37,5   k N . m

Agora vamos analisar o intervalo na extremidade direita, em:

2,4 < x < 3

Então, igualando a equação da força cortante a zero nesse intervalo, teremos:

V = 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0 = 0

62,5 - 25 ( x - 0,6 ) + 25 x - 2,4 - 40 x - 0,6 - 40 x - 2,4 = 0

62,5 - 25 x + 15 + 25 x - 60 - 40 x + 24 - 40 x + 96 = 0

137,5 = 80 x → x = 1,718   m

Olha só! O valor de x encontrado não está no intervalo de estudo, quer dizer que nesse intervalo não temos valores de máximo ou mínimo da função. Então, o maior momento é realmente aquele que encontramos no passo 3.

M m a x = 47,62   k N . m

Resposta

a :   V = 62,5 - 25 < x - 0,6 > 1 + 25 < x - 2,4 > 1 - 40 < x - 0,6 > 0 - 40 < x - 2,4 > 0

a : M = 62,5 x - 12,5 < x - 0,6 > 2 + 12,5 < x - 2,4 > 2 - 40 < x - 0,6 > 1 - 40 < x - 2,4 > 1

b :   M m a x = 47,62   k N

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Usando o método da seção 5.2, resolva o problema 5.15.
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Sabendo que a tensão admissível para ao aço é de 165M P a , selecione a viga de mesa larga mais econômica para suportar o carregamento mostrado.