Enunciado

Usando as informações fornecidas no Apêndice D , calcular o trabalho realizado pelas cargas, tal como elas são aplicadas na viga:

  1. se a carga P é aplicada inicialmente;
  2. se o momento M 0 é aplicado inicialmente.

Passo 1

Oi, gente! Tudo bem com vocês? Bora fazer um exercício de cálculo de trabalho realizado por uma força e um momento sobre uma viga que se deforma?

Temos que calcular o trabalho U em duas situações. Na situação (a), temos que calcular o trabalho U a , quando a força P é aplicada primeiro. P é aumentada até fazer o ponto B se deslocar y B P . Além disso, essa força faz o ponto A ficar com um ângulo de inclinação θ A P . Depois, o momento M 0 é aplicado até fazer o ponto A aumentar seu ângulo de inclinação em θ A M e fazer o ponto B se deslocar mais y B M .

Na figura acima podemos ver como P e M 0 variam conforme as deformações aumentam. Abaixo das curvas vermelhas podemos ver as áreas coloridas A 1 , A 2 e A 3 . O trabalho U a é a soma dessas áreas que estão sob as curvas das cargas.

U a = A 1 + A 2 + A 3

Na situação (b), o momento M 0 é aplicado primeiro. M 0 é aumentado até fazer o ponto B se deslocar y B M . Além disso, essa força faz o ponto A ficar com um ângulo de inclinação θ A M . Depois, a força P é aplicada até fazer o ponto B se deslocar mais y B P e até aumentar o ângulo de inclinação do ponto A em θ A P .

A figura abaixo mostra as curvas e áreas formadas na situação (b).

Na situação (b), temos que calcular o trabalho U b que também é igual à soma as áreas abaixo das curvas das cargas.

U b = A 4 + A 5 + A 6

Para calcular todas as 6 áreas, precisamos saber quanto valem y B P , y B M , θ A P e θ A M . Para encontrar equações de y B P , y B M , θ A P e θ A M usamos o apêndice D do livro.

Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 2

As equações de y B P e θ A P são encontradas, quando consideramos que só existe um carregamento deformando a viga: a força P . Além disso, consideramos que a viga tem um comprimento igual L 2 , porque a força P é aplicada no centro da viga (ou seja, a L 2 de distância da parede). Nesse caso, o tipo de viga e carregamento é o tipo 1 da tabela desse apêndice. Logo:

y B P = P L 2 3 3 E I       ⟹       y B P = P L 3 24 E I           |           θ A P = P L 2 2 2 E I       ⟹       θ A P = P L 2 8 E I

Já as equações de y B M e θ A M são obtidas, quando consideramos que só existe um carregamento deformando a viga: o momento M 0 . Nesse caso, o tipo de viga e carregamento é o tipo 3 da tabela desse apêndice. Logo:

y B M = M 0 x 2 2 E I       ⟹       y B M = M 0 L 2 2 2 E I       ⟹       y B M = M 0 L 2 8 E I           |           θ A M = M 0 L E I

Com essas equações, somos capazes de achar todas as áreas no próximo passo.

Passo 3

Então é isso, galera. Só falta aprender a calcular as 6 áreas a partir de y B P , y B M , θ A P e θ A M que resolvemos a equação. Aprendemos isso, olhando para os gráficos do primeiro passo.

No primeira figura vemos que A 1 é um triângulo de base y B P e altura P , A 2 é um retângulo de lados y B M e P e A 3 é um triângulo de base θ A M e altura M 0 . Por isso:

A 1 = y B P P 2       ⟹       A 1 = P L 3 24 E I P 2       ⟹       A 1 = P 2 L 3 48 E I

A 2 = y B M P       ⟹       A 2 = M 0 L 2 8 E I P       ⟹       A 2 = M 0 L 2 P 8 E I

A 3 = θ A M M 0 2       ⟹       A 3 = M 0 L E I M 0 2       ⟹       A 3 = M 0 2 L 2 E I

Substituindo essas áreas na equação de U a , achamos:

U a = A 1 + A 2 + A 3

U a = P 2 L 3 48 E I + M 0 L 2 P 8 E I + M 0 2 L 2 E I

Aeee! Achamos a resposta da letra (a) da questão!

Vamos partir pra letra (b) agora!

Passo 4

No segunda figura vemos que A 4 é um triângulo de base y B P e altura P , A 5 é um triângulo de base θ A M e altura M 0 e A 6 é um retângulo de lados θ A P e M 0 .

A 4 = y B P P 2       ⟹       A 4 = P L 3 24 E I P 2       ⟹       A 4 = P 2 L 3 48 E I

A 5 = θ A M M 0 2       ⟹       A 5 = M 0 L E I M 0 2       ⟹       A 5 = M 0 2 L 2 E I

A 6 = θ A P M 0       ⟹       A 6 = P L 2 8 E I M 0       ⟹       A 6 = M 0 L 2 P 8 E I

Substituindo essas áreas na equação de U b , achamos:

U b = A 4 + A 5 + A 6

U b = P 2 L 3 48 E I + M 0 2 L 2 E I + M 0 L 2 P 8 E I

Prooonto! Achamos a resposta da letra (b) e acabamos com a questão! Perceba que a resposta da letra (a) é igual à resposta da letra (b)!

Resposta

a   U a = P 2 L 3 48 E I + M 0 L 2 P 8 E I + M 0 2 L 2 E I

b   U b = P 2 L 3 48 E I + M 0 2 L 2 E I + M 0 L 2 P 8 E I

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