Enunciado

Cada membro da treliça mostrada é feito de aço e tem uma seção transversal de área igual a 3230   m m 2 . Usando-se E = 200   G P a , determinar a deflexão vertical do ponto B , provocada pela carga de 90   k N .

Passo 1

Faaaala, galerinha! Prontos para uma questão de cálculo de deflexão através do método de energia?

O enunciado mostra uma figura com 5 membros da treliça ( A B , A C , B C , B D e C D ) e quer que a gente calcule a deflexão y B do ponto B produzida pela força P que é aplicada em B .

Como temos que usar o método da energia, vamos calcular y B a partir da equação que calcula a quantidade de energia U que é absorvida pela treliça, quando ela se deforma.

U = P y B 2       ⟹       y B = 2 U P

U é a energia total absorvida pela treliça. Logo, U é a soma das energias absorvidas por cada treliça. Isso é mostrado pela equação abaixo.

U = U A B + U A C + U B C + U B D + U C D

Para calcular cada uma dessas energia, vamos precisar calcular as forças aplicadas a cada um dos membros da treliça! A figura abaixo mostra as forças que são aplicadas a cada membro mais a força P . Atenção! Essas não são todas as forças que existem no problema. Elas são apenas as forças que entrarão no cálculas das energias mais a força P .

Para encontrar as energias de cada membro da treliça, usaremos a equação 10.14 que calcula a energia absorvida U n por uma barra de comprimento L n , quando ela sofre a ação de uma força axial F n .

U n = F n 2 L n 2 A E

Agora podemos começar os cálculos no próximo passo.

Passo 2

Para encontrar as forças F A B , F A C , F B C , F B D e F C D , precisamos calcular a reação R A y da restrição do ponto A e a reação R D y do ponto C .

Para fazer esses cálculos, vamos usar o diagrama de corpo livre da treliça inteira abaixo.

Primeiro, vamos fazer o equilíbrio de forças na treliça inteira. Esse equilíbrio diz que a soma de todas as forças em y vale zero. Como a força P está apontando pra baixo, ela ganhará um sinal de menos na equação. Além disso, vemos que a treliça e as forças são simétricas. Logo, R A y é igual a R D y .

R A y + R D y - P = 0       ⟹       2 R A y = 90       ⟹       R A y = R D y = 45   k N

Pronto! Achamos todas as reações! Agora somos capazes de achar as forças F A B , F A C , F B C , F B D e F C D aplicadas nos membros da treliça.

Passo 3

Para facilitar nossa vida na hora de achar essas forças, podemos observar novamente que as forças e a treliça são simétricas. Por isso:

F A B = F B D

F C D = F A C

Agora, podemos achar F A B e F A C , fazendo o equilíbrio de forças no ponto A .

O equilíbrio de forças em y resulta em:

R A y + F A B sen ⁡ θ = 0       ⟹       45 + F A B sen ⁡ θ = 0       ⟹       F A B = F B D = - 45 s e n θ

Já o equilíbrio em x leva ao resultado abaixo.

F A C + F A B cos ⁡ θ = 0       ⟹       F A C = - F A B cos ⁡ θ       ⟹       F A C = F C D = 45 cos ⁡ θ s e n θ

Agora podemos achar a força F B C restante, fazendo o equilíbrio das forças em y do ponto B .

Temos que lembrar antes, que no equilíbrio em y , todas as forças apontando pra baixo ganham um sinal de menos na frente.

- F B C - F B D sen ⁡ θ - F A B sen ⁡ θ - P = 0

- F B C - - 45 s e n θ sen ⁡ θ - - 45 s e n θ sen ⁡ θ - 90 = 0

F B C = 0   N

Para achar o sen ⁡ θ e o cos ⁡ θ e conseguir calcular o valor das forças, recorremos ao desenho abaixo. Nele, vemos que L A B foi calculado usando o teorema de Pitágoras com L B C e L A C de catetos.

sen ⁡ θ = 0,75 1,95       ⟹     sen ⁡ θ = 0 , 3846

cos ⁡ θ = 1,8 1,95       ⟹     cos ⁡ θ = 0,9231

Substituindo nas equações das forças:

F A B = F B D = - 45 s e n θ         ⟹       F A B = F B D = - 45 0 , 3846       ⟹       F A B = F B D = - 117 , 00   k N

F A C = F C D = 45 cos ⁡ θ s e n θ       ⟹       F A C = F C D = 45 × 0,9231 0 , 3846       ⟹       F A C = F C D = 108,01   k N

Agora podemos achar as energias de cada membro da treliça.

Passo 4

Para achar as energias U A B , U A C , U B C , U B D e U C D dos membros, usamos as forças que calculamos na equação de energia U n do passo 1.

Antes, precisamos converter A de m m 2 pra m 2 multiplicando por 10 - 6 , converter E de G P a pra P a multiplicando por 10 9 e converter P de k N pra N multiplicando por 10 3 .

U A B = F A B 2 L A B 2 A E       ⟹       U A B = - 117 , 00 × 10 3 2 1,95 2 × 3230 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A B = 20 , 66   J

U A C = F A C 2 L A C 2 A E       ⟹       U A C = 108,01 × 10 3 2 1,8 2 × 3230 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A C = 16 , 25   J

U B C = F B C 2 L B C 2 A E       ⟹       U B C = 0 2 0,75 2 × 3230 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B C = 0   J

U B D = F B D 2 L B D 2 A E       ⟹       U B D = - 117 , 00 × 10 3 2 1,95 2 × 3230 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B D = 20 , 66   J

U C D = F C D 2 L C D 2 A E       ⟹       U C D = 108,01 × 10 3 2 1,8 2 × 3230 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U C D = 16 , 25   J

Com esse valores, podemos calcular U e y B no próximo passo.

Passo 5

Somando todas as energias de cada membro da treliça, achamos U .

U = U A B + U A C + U B C + U B D + U C D

U = 20 , 66 + 16 , 25 + 0 + 20 , 66 + 16 , 25

U = 73 , 82   J

y B é encontrado a partir da fórmula que deduzimos no passo 1.

y B = 2 U P       ⟹       y B = 2 × 73 , 82 90 × 10 3       ⟹       y B = 0 , 00164   m

Boooooa, meus queridos! Chegamos na resposta da questão!

Resposta

y B = 0 , 00164   m

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