Enunciado

Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão em C , provocada pela carga P .

Passo 1

Oi, galera bonita! Tudo bem? Vamos fazer um exercício de deflexão através do método de energia?

Essa questão mostra uma viga sendo carregada com uma força P . Essa força faz a barra absorver uma energia U e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a deflexão y C no ponto C da viga, usando duas equações de U . A primeira, calcula U a partir da força P .

U = P y C 2

A segunda equação, calcula U por meio de uma integral do momento fletor M da viga.

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

No entanto, o valor de E I da viga (módulo de elasticidade E multiplicado por momento de inércia I ) varia ao longo da barra. Esse termo vale E I de A x = 0 até x = a e de x = 3 a até B x = 4 a e vale 2 E I de x = a até x = 3 a . Por isso, precisamos dividir a integral em três como mostrado na figura abaixo.

Igualando essas duas equações de U , achamos y C .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de forças em y . No próximo passo, calcularemos essas duas forças!

Passo 2

Para achar R A e R B através do equilíbrio de forças em y , precisamos notar que essa barra é simétrica! Isso significa que a força de reação da ponta esquerda da barra R A e a força de reação da ponta direita da barra R B são iguais!

R A = R B

Como a força P da barra está para baixo, ela ganha um sinal de menos na equação de equilíbrio em y .

R A + R B - P = 0       ⟹       R A + R A - P = 0       ⟹       2 R A = P       ⟹       R A = P 2

Como R B é igual a R A :

R B = R A       ⟹       R B = P 2

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força P e outro quando a parte esquerda inclui a força P . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

- M R A + M = 0       ⟹       - R A x + M = 0       ⟹       - P 2 x + M = 0       ⟹       M = P 2 x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

De novo precisamos observar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

M P - M R A + M = 0       ⟹       P x - 2 a - R A x + M = 0

Substiuindo o valor de R A :

P x - 2 a - P 2 x + M = 0       ⟹       M = - P 2 x - 4 a

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e 2 a e outro, quando x vale entre 2 a e 4 a .

S e   0 ≤ x < 2 a       ⟹       M = P 2 x

S e   2 a < x ≤ 4 a       ⟹       M = - P 2 x - 4 a

Por isso, para substituir M na integral que calcula U entre a e 3 a , precisamos separar a integral dessa faixa em duas. Uma que vai de a a 2 a para o primeiro valor de M e outra que vai de 2 a a 3 a para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a 3 a M 2 4 E I d x + ∫ 3 a 4 a M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a 2 a M 2 4 E I d x + ∫ 2 a 3 a M 2 4 E I d x + ∫ 3 a 4 a M 2 2 E I d x

Agora, vamos substituir M na integral de U para poder achar y C mais tarde!

U = ∫ 0 a P 2 x 2 2 E I d x + ∫ a 2 a P 2 x 2 4 E I d x + ∫ 2 a 3 a - P 2 x - 4 a 2 4 E I d x + ∫ 3 a 4 a - P 2 x - 4 a 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = P 2 8 E I ∫ 0 a x 2   d x + P 2 16 E I ∫ a 2 a x 2   d x + P 2 16 E I ∫ 2 a 3 a x - 4 a 2   d x + P 2 8 E I ∫ 3 a 4 a x - 4 a 2   d x

U = P 2 a 3 24 E I + 7 P 2 a 3 48 E I + 7 P 2 a 3 48 E I + P 2 a 3 24 E I       ⟹       U = 3 P 2 a 3 8 E I

Substituindo essa equação de U na primeira equação de U do passo 1, achamos:

U = P y C 2       ⟹       3 P 2 a 3 8 E I = P y C 2       ⟹       y C = 3 P a 3 4 E I

Aeeeee! Chegamos no fim dessa questão! :)

Resposta

y C = 3 P a 3 4 E I

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