Enunciado

Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão no ponto D , devido à carga P .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? Vamos resolver um exercício de deflexão através do método de energia?

Essa questão mostra uma viga sendo carregada com uma força P . Essa força faz a barra absorver uma energia U e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a deflexão y D no ponto D da viga, usando duas equações de U . A primeira, calcula U a partir da força P .

U = P y D 2

A segunda, calcula U por meio de uma integral do momento fletor M da viga.

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

Igualando essas duas equações de U , achamos y D .

A figura abaixo mostra os dados que temos para achar y D .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Precisamos apenas uma das forças para encontrar o momento M . No próximo passo, calcularemos R B .

Passo 2

A primeira etapa para fazer isso é encontrar a reação R B fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A .

Como a força P faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de P .

M R B - M P = 0       ⟹       R B L - P a + L = 0       ⟹       R B = P a + L L

Agora estamos aptos a achar M ! Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra A D . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força R B e outro quando a parte direita inclui a força R B . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M e M P , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M P - M = 0       ⟹       - P x - M = 0       ⟹       M = - P x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

- M P + M R B - M = 0     ⟹   - P x + R B x - a - M = 0

- P x + P a + L L x - a - M = 0       ⟹       M = P a L x - a - L

Com esses valores de M , podemos achar U a partir da integral para encontar y D !

Passo 3

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a e outro, quando x vale entre a e a + L .

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = - P x

S e   a < x ≤ a + L       ⟹       M = P a L x - a - L

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M e outra que vai de a a a + L para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 a + L M 2 2 E I d x       ⟹       U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a a + L M 2 2 E I d x

Substituindo os valores de M nas integrais corretas, achamos:

U = ∫ 0 a - P x 2 2 E I d x + ∫ a a + L P a L x - a - L 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = P 2 2 E I ∫ 0 a x 2   d x + P 2 a 2 L 2 2 E I ∫ a a + L x - a - L 2   d x

U = P 2 2 E I x 3 3 0 a + P 2 a 2 L 2 2 E I x - a - L 3 3 a a + L

U = P 2 2 E I a 3 3   + P 2 a 2 L 2 2 E I L 3 3       ⟹     U = P 2 6 E I a 3   + P 2 a 2 6 E I L     ⟹       U = P 2 a 2 6 E I a + L

Substituindo essa equação de U na primeira equação de U do passo 1, achamos:

U = P y D 2       ⟹       P 2 a 2 6 E I a + L = P y D 2       ⟹       y D = P a 2 3 E I a + L

Enfim achamos o resultado que a questão queria! Uhuuuul!

Resposta

y D = P a 2 3 E I a + L

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