Enunciado

Um vagão ferroviário de carvão possui uma massa de 25   t vazio transporta uma carga total de 90   t de carvão. Os compartimentos são equipados com portas no fundo que permitem o descarregamento do carvão através de uma abertura entre os trilhos. Se o vagão descarrega o carvão na taxa de 10   t / s em sentido descendente em relação ao vagão, e se a resistência por atrito do movimento é 20   N por tonelada de massa total restante, determine a força P no engate necessária para dar ao vagão uma aceleração de 0,045   m / s 2 na direção de P no instante em que metade do carvão tiver sido desepejada.

Passo 1

Vamos começar analisando a soma das forças externas na direção horizontal:

∑ F x = F a t - P

Onde F a t é a força de atrito, e P é a força no engate. Pelos dados que foram dados no enunciado podemos escrever uma fórmula para o atrito:

F a t = 20   N m ( 10 3   k g )

E dividimos por 10 3 porque o atrito aumenta em 20   N por tonelada.

Já que a massa do vagão é 25   t , e inicialmente tínhamos 90   t de carvão, a massa m no instante em que metade do carvão já foi despejado é:

m = 25.10 3 + 90.10 3 2 = 70.10 3   k g

E então a força de atrito é:

F a t = 20 70.10 3 10 3 = 1400   N

Passo 2

Ok, então a força externa resultante na direção x é:

∑ F x = 1400 - P

Sabemos que essa força tem que ser igual à taxa de variação do momento linear na mesma direção:

∑ F x = d d t m v = m ˙ u x + m v ˙ x

Onde u é a velocidade do fluxo de carvão em relação ao vagão na direção x . Como esse fluxo é totalmente vertical, essa velocidade é nula:

u x = 0

A massa já foi calculada no passo anterior:

m = 70.10 3   k g

E queremos fazer nossa conta para o caso em que a aceleração é:

v ˙ x = - 0,045   m / s 2

E o sinal negativo aparece por estar na mesma direção da força P , que definimos como negativa lá em cima.

Agora podemos substituir tudo na equação:

1400 - P = - ( 70.10 3 ) ( 0,045 )

P = 4550   N

Resposta

A força necessária é P = 4550   N .

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