Enunciado

O vagão-plataforma de 25   t suporta um veículo de 7,5   t em uma rampa de 5 ° construída sobre o vagão-plataforma. Se o veículo é liberado a partir do repouso com o vagão-plataforma também em repouso, determine a velocidade v do vagão-plataforma quando o veículo tiver se deslocado s = 12   m para baixo na rampa logo antes de bater na trava em B . Despreze todo o atrito e trate o veículo e o vagão-plataforma como partículas.

Passo 1

Como há conservação de energia no sistema, podemos escrever:

Δ T 1 + Δ T 2 + Δ V 1 + Δ V 2 = 0

onde os índices 1 e 2 se referem ao vagão-plataforma e ao veículo, respectivamente.

Como a velocidade que o vagão adquire é v , temos:

Δ T 1 = 1 2 m 1 v 2 = 1 2 25000 v 2

Δ T 1 = 12500   v 2

Para calcular Δ T 2 , chamaremos de s ˙ a velocidade de descida do veículo, relativamente ao vagão. Então, a velocidade do veículo tem duas componentes:

v x =   s ˙ cos ⁡ 5 ° - v

v y =   s ˙   s e n   5 °

Lembrando que subtraímos v de v x porque o veículo acompanha o movimento do vagão. Então:

Δ T 2 = 1 2 m 2 v x 2 + v y 2 = 1 2 7500 v x 2 + v y 2

Δ T 2 = 3750   s ˙ cos ⁡ 5 ° - v 2 + s ˙   s e n   5 ° 2

Passo 2

Como o vagão não se movimenta verticalmente, temos:

Δ V 1 = 0

Já o veículo desce uma altura de s   s e n   5 ° , logo:

Δ V 2 = m 2 g   0 - s   s e n   5 ° = 7500 9,81 - 12   s e n   5 °

Δ V 2 = - 882900   s e n   5 °

Substituímos, então, todos os valores na equação de energia:

Δ T 1 + Δ T 2 + Δ V 1 + Δ V 2 = 0

12500   v 2 + 3750   s ˙ cos ⁡ 5 ° - v 2 + s ˙   s e n   5 ° 2 + 0 - 882900   s e n   5 ° = 0

Usaremos essa equação mais tarde.

Passo 3

Note que também temos conservação da quantidade de movimento na direção x , ou seja,

Δ G x = 0

Inicialmente, tanto o vagão quanto o veículo estão em repouso. Mas, como já calculamos, o veículo adquire velocidade v x = s ˙ cos ⁡ 5 ° - v , e o vagão, - v (com sentido contrário à velocidade do veículo):

m 1 - v + m 2 v x = 0

25000 - v + 7500 s ˙ cos ⁡ 5 ° - v = 0

- 25000   v + 7500   s ˙ cos ⁡ 5 ° - 7500   v = 0

s ˙ = 32500   v 7500 cos ⁡ 5 °

s ˙ = 13 v 3 cos ⁡ 5 °

Passo 4

Agora que temos a expressão de s ˙ em função de v , podemos substituí-la nessa equação:

12500   v 2 + 3750   s ˙ cos ⁡ 5 ° - v 2 + s ˙   s e n   5 ° 2 - 882900   s e n   5 ° = 0

12500   v 2 + 3750   13 v 3 cos ⁡ 5 ° cos ⁡ 5 ° - v 2 + 13 v 3 cos ⁡ 5 ° s e n   5 ° 2 - 882900   s e n   5 ° = 0

12500   v 2 + 3750   1 0 3 v 2 + 13 3 v tan ⁡ 5 ° 2 - 882900   s e n   5 ° = 0

12500   v 2 + 125000 3 v 2 + 211250 tan 2 ⁡ 5 ° 3 v 2 - 882900   s e n   5 ° = 0

v = 882900   s e n   5 ° 12500 + 125000 3 + 211250 tan 2 ⁡ 5 ° 3

v = 1,186   m / s

Resposta

v = 1,186   m / s

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