Enunciado

Para uma vibração em estado estacionário com amortecimento sob uma força harmônica, mostre que a energia mecânica dissipada por ciclo pelo painel é E = π c x m 2 ω f , onde c é o coeficiente de amortecimento, x m é a amplitude do movimento, ω f é a frequência circular da força harmônica.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que a energia mecânica dissipada por ciclo pelo painel é E = π c x m 2 ω f , onde c é o coeficiente de amortecimento, x m é a amplitude do movimento, ω f é a frequência circular da força harmônica.

Energia é dissipada no painel de controle

Da eq (19.48), a deflecção do sistema é x = x m s i n ⁡ ω j t - φ

Força do painel de controle

F D = c x ˙ F D = c x m ω f c o s ⁡ ω f t - φ

Passo 2

Trabalho feito em um círculo completo

c f = 2 π ω f E = ∫ 0 2 π / ω f   F d d x (   i . e . ,   f o r ç a   ×   d i s t a n c i a   )

d x = x m ω f c o s ⁡ ω j t - φ d t E = ∫ 0 2 π / ω t   c x m 2 ω f 2 c o s 2 ⁡ ω f t - φ d t

c o s 2 ⁡ ω D t - φ = 1 - 2 c o s ⁡ ω f t - ϕ 2

E = c x m 2 ω f 2 ∫ 0 2 π / ω j   1 - 2 c o s ⁡ ω f t - ϕ 2 d t E = c x m 2 ω f 2 2 t - 2 s i n ⁡ ω f t - ϕ ω f 0 2 π / ω '

E = c x m 2 ω f 2 2 2 π ω f - 2 ω f ( s i n ⁡ ( 2 π - φ ) - s i n ⁡ φ )

E = π c x m 2 ω j  Q.E.D.

Resposta

E = π c x m 2 ω j  Q.E.D.

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