Enunciado

Uma viga de aço de 1   m de comprimento suporta uma massa de 50   k g em sua extremidade livre, como mostra a Figura 2.76. Determine a frequência natural de vibração transversal da massa modelando-a como um sistema com um grau de liberdade.

Passo 1

Queremos a frequência natural do sistema dado na figura do enunciado.

A frequência natural é dada por:

ω n = k e q m

Temos que encontrar a rigidez equivalente k e q .

Para o sistema dado, temos que:

k e q = P y C

Onde y C é a equação para deflexão no ponto devido a carga. Para saber o modo desta equação você pode analisar o apêndice B que diz respeito à “deflexão das vigas e placas” e obter a seguinte fórmula para o sistema:

y x = P x - l 6 E I a 3 x - l - x - l 2

Temos que l = 0,8   m e a = 0 , 2   m . Como queremos saber a equação aplicada ao ponto onde a massa está agindo, temos que:

x = l + a

Passo 2

Substituindo na equação, temos que:

y C = P l + a - l 6 E I a 3 l + a - l - l + a - l 2

Desenvolvendo, temos que:

y C = P a 6 E I a 3 l + 3 a - l - a 2

y C = P a 6 E I 2 l a + 3 a 2 - a 2

y C = P a 2 3 E I l + a

Temos que o momento de inércia da viga é dado por:

I = 1 12 b h 3

Nos foi dito que a viga tem seção transversal quadrada de 5   c m × 5   c m , portanto, b = 0,05   m e h = 0,05   m .

Temos que:

I = 1 12 0,05 0,05 3

I = 52,0833 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 3

Portanto, a rigidez equivalente do sistema será:

k e q = P y C = P P a 2 3 E I l + a

k e q = 3 E I a 2 l + a

Substituindo os valores, temos que:

k e q = 3 207 ⋅ 10 9 52,0833 ⋅ 10 - 8 0,2 2 0,8 + 0,2

k e q = 8,085932 ⋅ 10 6   N / m

Podemos finalmente descobrir a frequência natural do sistema:

ω n = k e q m = 8,085932 ⋅ 10 6 50

ω n = 402,142   r a d / s

Resposta

ω n = 402,142   r a d / s

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