Enunciado

Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade D. Usar E = 200 G P a .

Passo 1

Então galerinha, esse exercício é bem tranquilo, podemos usar o nosso conceito de sobreposição de cargas, essa sobreposição ocorre da seguinte maneira, podemos dividir cada uma das nossas cargas em uma viga separa, assim, temos que:

E a tabela que temos no fim do livro é dado por:

Sabemos que para a barra com a carga concentrada, podemos calcular a seguinte deformação e a inclinação no ponto D:

y D = P 6 E I x 3 - 3 L x 2 = P 6 E I L 3 - 3 L L 2 = - P L 3 3 E I

θ D = P 6 E I 3 x 2 - 6 L x = P 6 E I 3 L 2 - 6 L L = - P L 2 2 E I

E para a barra com carga distribuída, precisamos ver que não temos a equação exata para o ponto D, mas podemos usar a nossa equação exatamente até o ponto B e depois, a partir do ponto B, podemos chegar no ponto D, assim, temos que:

y B = - w 24 E I x 4 - 4 L x 3 + 6 L x 2

Usando a distância de A até B como “a”, teremos que:

y B = - w 24 E I a 4 - 4 a a 3 + 6 a a 2 = - w a 4 8 E I

E olhando o ângulo em B, teremos que:

θ B = - w 24 E I 4 x 3 - 12 L x 2 + 12 L x

θ B = - w 24 E I 4 a 3 - 12 a a 2 + 12 a a = - w a 3 6 E I

Mas como queremos o que rolou no ponto D, podemos fazer as seguintes aproximações:

θ B = θ D = - w a 3 6 E I

E a deformação em D, considerando a distância entre B e D como “b”, teremos que:

y D = y B + b θ B

Assim tem-se que:

y D = - w a 4 8 E I - b w a 3 6 E I

Tendo isso em mãos, podemos ir para o próximo passo.

Passo 2

Queremos a deformação total em D, assim, é só somar as duas deformações que obtemos ali em cima para o ponto D.

y D = - w a 4 8 E I - b w a 3 6 E I - P L 3 3 E I

E para o ângulo temos que:

θ D = - w a 3 6 E I - P L 2 2 E I

Assim, olhando para o nosso problema, temos os seguintes valores numéricos:

w = 2,6 k N m = 2600 N m = 2,6 N m m

E = 200   G P a = 200000   M P a = 200000 N m m 2

I = π r 4 4 = π 22,5 4 4 = 201288,959   m m 4

E I = 4,026 × 10 10   N m m 2

L = 1 m = 1000   m m

a = 0,75 m = 750 m m

b = 0 , 2 5 m = 2 50 m m

P = 560   N

Substituindo, temos que:

y D = - w a 4 8 E I - b w a 3 6 E I - P L 3 3 E I

y D = - 2,6 × 750 4 8 × 4,026 × 10 10 - 250 × 2,6 × 750 3 6 × 4,026 × 10 10 - 560 × 1000 3 3 × 4,026 × 10 10 = - 8,32 m m

θ D = - w a 3 6 E I - P L 2 2 E I

θ D = - 2,6 × 750 3 6 × 4,026 × 10 10 - 560 × 1000 2 2 × 4,026 × 10 10 = - 0,0115   r a d

Resposta

y D = - 8,32 m m

θ D = - 0,0115   r a d

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