Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a reação de apoio móvel.

Obs: determinação dos valores da viga no estado isostático para o caso 1

Passo 1

Fala galerinha, agora vamos estar entrando em um novo caso, que são as vigas hiperestáticas. Nesse caso, diferente dos anteriores desse capitulo, não conseguimos determinar a reação de apoio diretamente, exatamente por não estarmos mais em um estado isostático, porém, podemos forçar a nossa barra a virar um somatório de estados isostáticos. No caso, o que vou fazer é quebrar um vínculo de momento no apoio B, e também vamos girar a nossa viga para ficar mais fácil, e assim vamos ter a seguinte divisão de cargas na nova viga:

Agora lembre-se do seguinte, sabemos que na verdade em B temos um engaste, certo? Logo sabemos que obrigatoriamente o ângulo lá é zero. Porém podemos ver que nas vigas isostáticas 1 e 2 teremos ângulos formados diferentes de zero em B, o que isso significa? Que se somarmos o ângulo que temos na viga 1 com o que temos na viga 2, temos que ter zero como somatório deles, e daí conseguimos tirar o nosso M 0 , e a partir deles podemos determinar a nossa reação no apoio móvel, beleza? Então vamos lá.

Passo 2

Vale lembrar que dividimos o problema em duas partes, nessa primeira parte determinamos as duas vigas e o ângulo da viga 1, e na parte 2, ou b, vamos determinar o ângulo da viga 2, M 0 e a reação de apoio que precisamos, beleza? Então vamos lá. Como a nossa viga 1 é isostática, podemos determinar as suas reações de apoio.

∑ M B = 0

V A L - P L 3 - 2 P L 3 = 0

V A = P

∑ F V = 0

P + V B - P - P = 0

V B = P

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e B, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto A temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto A, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 3

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de A com relação a B da seguinte maneira:

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

L θ B = L θ A - L θ A / B

L θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B L

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = 2 P L 3 E I × 2 L 3 × 1 2 = 4 P L 2 18 E I = 2 P L 2 9 E I

A 2 = P L 3 E I × L 3 × 1 2 = P L 2 18 E I

A 3 = - P L E I × L × 1 2 = - P L 2 2 E I

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y A / B = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3

y A / B = 2 P L 2 9 E I × 2 L 9 + P L 2 18 E I × L 9 - P L 2 2 E I × L 3

y A / B = 4 P L 3 81 E I + P L 3 162 E I - P L 3 6 E I

y A / B = 8 P L 3 162 E I + P L 3 162 E I - 27 P L 3 162 E I

y A / B = - P L 3 9 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ B = - y B A L = - - P L 3 9 E I L = P L 2 9 E I

Resposta

θ B = P L 2 9 E I

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