Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, dimensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12   M P a e τ a d m = 860   k P a .

Passo 1

Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em A e B , por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  3. Calcular o módulo resistente da seção W .
  4. Utilizar o momento fletor máximo o módulo resistente da seção e a máxima tensão admissível σ a d m para achar o comprimento d .

Passo 2

Para facilitar fazer fazer um desenho das forças:

Vale lembrar que a força concentrada é calculada como:

F c o n c e n t r a d a = w 0 × L = 6 × 2,1

Aplicando a equação de equilíbrio em relação à horizontal vamos ter:

∑ F y = 0

A y - 6 × 2,1 - 20 + B y = 0

A y + B y = 32,6   k N

Não há forças na vertical.

Agora vamos aplicar o momento em A:

∑ M A = 0

Vale lembrar também que a força concentrada atua em x = 2,1 2

6 × 2,1 × 2,1 2 + 20 × 3 - B y × 2,1 = 0

B y = 34,87   k N

Logo vamos ter que:

A y = - 2,27   k N

Passo 3

Nós queremos o máximo momento fletor que ocorre em x = 2,1   m , mas vamos calcular primeiro a força cortante:

V = - 2,27 - 6 × 2,1 = - 14,87   k N

M m á x = 6 × 2,1 × 2,1 2 - 14,87 × 2,1

M m á x = - 18   k N . m

Passo 4

Com isso a gente pode achar o valor da tensão cisalhante normal máxima da fora:

σ = M . c I

Mas a gente não vai fazer essa conta direto, vamos utilizar uma propriedade chamada de módulo resistente da seção W , que é dada por:

W = I c

Ou seja, o momento de inércia I sobre a maior distância até a linha neutra c . Vamos calcular esse W ?

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 0,090 d 3

c = d 2

Assim:

W = 1 12 0,090 d 3 d / 2

Reorganizando:

W = ( 0,015 ) ( d 2 )

Vamos guardar esse valor porque isso é importante!

Passo 5

Agora vamos substituir na equação da tensão normal:

Perceba que como

W = I / c

Então:

σ = M W

Aí aqui a gente vai fazer o négocio um pouco diferente. Se lembra que eu disse que o W era importante? Então, agora que vamos utiliza-lo porque a equação acima pode ser escrita como:

W = M m á x σ a d m

Agora é só substituir os valores que a gente já achou!

Aqui podemos utilizar o momento fletor em módulo:

( 0,015 ) ( d 2 ) = 18   × 10 3 12 × 10 6

d = 316   m m

Porém isso não é o bastante =(

A gente tem que ver se o carregamento não faz a estrutura falhar por cisalhalhamento.

Passo 6

Para fazer essa análise a gente vai utilizar a aproximação para seções retangulares:

τ a d m = 3 2 V m á x A  

A gente pode achar o V m á x que ocorrerá logo após o apoio B:

V m á x   = - 2,27 - 6 × 2,1 + 34,87 = 20   k N

V m á x = 20   k N

Substituindo os valores

τ a d m = 3 2 V m á x A  

825 × 10 3 = 3 2 20 × 10 3 A  

A = 0,03636

A = 1 2 d 2

d = 2 × 0,03636 = 190   m m

Então a dimensão de d deve ser mesmo igual a 316   m m

Resposta

d = 316   m m

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