Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, determine a deflexão do ponto C . Use E = 200   G P a .

Passo 1

Fala aí, galerinha. Tudo bele? Vamos fazer mais uma questão.

Este problema nos pede para determinarmos a deflexão no ponto C . Para isso, vamos adicionar uma carga fictícia Q e então, vamos esboçar o D C L pra ver como o nosso problema vai ficar:

Em seguida, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos as reações de apoio. Assim, encontramos qie:

R A = - 4 + Q 2

E também:

R D = 12 - 1 12 Q

Passo 2

Em seguida, vamos determinar a energia de deformação total para esta viga. Vamos lembrar que a a energia de deformação é uma grandeza escalar, portanto, ela vai ser a soma das energias de deformação para cada porção da viga:

U = U A C + U C D + U D B

E então, ao derivarmos esta equação dos dois lados em função de M A , obteremos a deformação, que neste caso, vai ser no ponto C . Temos:

δ C = ∂ M ∂ Q

Com isso, vamos encontrar o momento fletor M para cada porção da viga. Para a primeira A C , compreendida no intervalo 0 < x < 3 temos:

M = M A - 4 + Q 2 x

E a sua derivada em relação a Q , ou seja, a sua deflexão vai ser:

∂ M ∂ Q = - 1 2 x

Como Q = 0 , a inclinação no segmento A C vai ser:

∂ U A C ∂ Q = 1 E I ∫ 0 3 4 x 1 2 x   d x

Logo, resolvendo esta integral, temos:

δ A C = ∂ U A C ∂ Q = 18 E I

Agora vamos repetir este processo para a porção C D , compreendida em 0 < v < 3 , temos que o momento fletor vai ser:

M = - 4 v - 24 - 1 2 Q v

E a deflexão, dada pela derivada parcial em Q , vai ser:

θ C D = ∂ M ∂ Q = - 1 2 v

Como Q = 0 , a deflexão no segmento C D vai ser:

∂ U C D ∂ Q = 1 E I ∫ 0 3 24 - 4 v 1 2 v   d v ∂ U C D ∂ Q = 36 E I

Por último, para D B ( 0 < u < 3 ) , temos:

M = - 8 u

E a deflexão, dada pela derivada parcial em Q , vai ser:

θ D B = ∂ M ∂ Q = 0

Passo 3

Agora é só substituirmos naquela relação que a gente comentou no último passo para encontrarmos a inclinação mo ponto A . Fica assim

θ A = ∂ U M A = 1 E I ∂ U A D ∂ Q + ∂ U C D ∂ Q + ∂ U D B ∂ Q

Para este perfil, sabemos que o momento de inercia é tabelado e dado por:

I = 23,9 × 10 - 6   m 4

Portanto:

E I = 200 × 10 9 23,9 × 10 - 6 = 47800   k N ∙ m 2

Substituindo na equação da inclinação:

δ C = 54 29 × 10 3 57,5

δ C = 0,0560   i n = 1,4224   m m

É isso, galera Bora pra próxima?

Resposta

δ C = 1,4224   m m

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