Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto D. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y 2,4 + 20 2,4 2,4 2 + 30 0,8 = 0 → A y = 34   k N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 1,6   m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 34 x + 20 x x 2 = 0 → M = 34 x - 10 x 2

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre D e B, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 34 x + 1,6 + 20 x + 1,6 x + 1,6 2 + 30 x = 0

M = - 10 x + 1,6 2 + 34 x + 1,6 - 30 x

Passo 3

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela reação em A, que chamaremos de momento 1, o causado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de momento 2, e o causado pela força localizada no ponto D, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = 34 x   0 < x < 2,4   m

M 2 = - 10 x 2   0 < x < 2,4   m

M 3 = - 30 x   1,6 < x < 2,4   m

Agora vamos calcular os momentos nos pontos D e B para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 D = 34 1,6 → M 1 D = 54,4   k N . m

M 1 B = 34 2,4 → M 1 B = 81,6   k N . m

M 2 D = - 10 1,6 2 → M 2 D = - 25,6   k N . m

M 2 B = - 10 2,4 2 → M 2 B = - 57,6   k N . m

M 3 B = - 30 0,8 → M 3 B = - 24   k N . m

Então nosso diagrama M/EI será:

Agora vamos aproveitar e vamos pegar o valor do momento de inércia para o nosso perfil de viga, o nome saiu apagado, mas no nosso caso temos uma W150 X 24, e então, teremos:

I = 13,4.10 6   m m 4 = 13,4.10 - 6   m 4

Então, o termo EI será:

E I = 200.10 9 13,4.10 - 6 → E I = 2,68.10 6   N . m 2 = 2680   k N . m 2

Passo 4

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 1,6 54,4 2680 2 → A 1 = 16,239.10 - 3

x - 1 = b 3 = 1,6 3 → x - 1 = 0,533   m

A 1 + A 2 = b h 2 = 2,4 81,6 2680 2 → A 2 = 20,298.10 - 3

A 3 = b h 3 = 1,6 - 25,6 2680 3 → A 3 = - 5,094.10 - 3

x - 3 = b 4 = 1,6 4 → x - 3 = 0,4   m

A 3 + A 4 = b h 3 = 2,4 - 57,6 2680 3 → A 4 = - 12,1 . 10 - 3

A 5 = b h 2 = 0,8 - 24 2680 2 → A 5 = - 3,582.10 - 3

x - 5 = b 3 = 0,8 3 → x - 5 = 0 , 267   m

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ A = - t B / A L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio B em relação a A é dado por:

t B / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 5 x - 5

Juntando as áreas 1 e 2, 3 e 4, teremos:

t B / A = A 1 + A 2 x - 12 + A 3 + A 4 x - 34 + A 5 x - 5

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t B / A = 16,239.10 - 3 + 20,298.10 - 3 1 3 2,4 + - 5,094.10 - 3 - 12 , 1 . 10 - 3 1 4 2,4 + ( - 3,582.10 - 3 ) ( 0,267 )

t B / A = 29,2296.10 - 3 - 10,316 . 10 - 3 - 0,956.10 - 3 → t B / A = 17,957.10 - 3

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B A L = - 17,957.10 - 3 2,4 → θ A = - 7,482.10 - 3   r a d

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t D / A = A D A x - + θ A x D

Em que A D A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto D. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t D - t A = A 1 x - 1 + A 3 x - 3 + θ A x D

Sabendo que não teremos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t D - 0 = 16,239.10 - 3 0,533 + - 5,094.10 - 3 0,4 + - 7,482.10 - 3 1,6

t D = - 5,35.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a :   θ A = - 7,482.10 - 3   r a d

b :   t D = - 5,35.10 - 3   m

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A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.
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