Enunciado

Uma barra uniforme AE deve ser apoiada em dois pontos B e D. Determine a distância a das extremidades da barra até os pontos de apoio se as deflexões para baixo nos pontos A, C e E devem ser iguais.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, nesse caso, a única força exercida sobre a barra é o seu peso próprio, que é análogo a um carregamento distribuído ao longo de toda a viga. Então vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

B y = E y = w ( L ) 2 → B y = D y = w L 2

Para encontrar o momento nos pontos A e C, vamos desenhar DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < a , onde teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + w x x 2 = 0 → M = - w x 2 2

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - w L 2 x + w x + a x + a 2 = 0 → M = - w x + a x + a 2 + w L x 2

Agora nós vamos separar os momentos em duas partes. A primeira é a parte parabólica que está presente nas duas seções, com a mesma intensidade, em função da distância. A segunda é a parte linear devido a reação de apoio em B, então teremos

M 1 = - w x 2 2   0 < x < L 2

M 2 = w L x 2   a < x < L 2

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos nos pontos A, B e C, onde teremos:

M 1 A = 0

M 1 B = - w a 2 2

M 1 C = - w L 2 8

M 2 B = 0

M 2 C = w L L 2 - a 2 → M 2 C = w L L - 2 a 4

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 4

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h 3 = L 2 - w L 2 8 E I 3 → A 1 = - w L 3 48 E I

x - 1 = b 4 = L 2 4 → x - 1 = L 8

A 2 = b h 2 = L 2 - a w L L - 2 a 4 E I 2 → A 2 = w L L - 2 a 2 16 E I

x - 2 = L 2 - a 3 = L - 2 a 2 3 → x - 2 = L - 2 a 6

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2

No nosso caso, queremos que as deflexões em A, C e E sejam iguais, então, para o caso acima, termeos t C = t A e a equação se torna:

0 - 0 = - w L 3 48 E I L 8 + w L L - 2 a 2 16 E I L - 2 a 6 → w L L - 2 a 3 96 E I = w L 4 384 E I

L - 2 a 3 = L 3 4 → L 3 1 - 2 a L 3 = L 3 4 → 1 - 2 a L 3 = 1 4

1 - 2 a L = 1 4 3 → a = 0,185 L

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a = 0,185 L

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