Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto B e (b) a deflexão no ponto D. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y 4,8 + 40 4,8 4,8 2 - 160 1,8 = 0 → A y = 36   k N

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

36 - 40 4,8 + B y - 160 = 0 → B y = 316   k N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 4,8   m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 36 x + 40 x x 2 = 0 → M = 36 x - 20 x 2

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e D, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 36 x + 4,8 + 40 4,8 x + 4,8 2 - 316 x = 0

M = 36 x + 4,8 - 192 x + 2,4 + 316 x  

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em quatro partes, o causado pela força reação de apoio em A, que chamaremos de momento 1, o causado pelo carregamento distribuído entre A e B, que chamaremos de momento 2, e o causado pelo carregamento distribuído, mas agora sob a porção B e D (que será linear nessa parte), que chamaremos de momento 3, e o causado pela reação de apoio em B, que será o nosso momento 4, então teremos:

M 1 = 36 x   0 < x < 6,6   m

M 2 = - 20 x 2 0 < x < 4,8   m

M 3 = - 192 ( x + 2,4 )   4,8 < x < 6,6   m

M 4 = 316 x   4,8 < x < 6,6   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 B = 36 4,8 → M 1 B = 172,8   k N . m

M 1 D = 36 6,6 → M 1 D = 237,6   k N . m

M 2 B = - 20 4,8 2 → M 2 B = - 460,8   k N . m

M 3 B = - 192 0 + 2,4 → M 3 B = - 460,8   k N . m

M 3 D = - 192 1,8 + 2,4 → M 3 D = - 806,4   k N . m

M 4 D = 316 ( 1,8 ) → M 4 D = 568,8   k N . m

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Agora vamos precisar calcular o termo EI. Para isso, vamos começar indo lá no apêndice C para pegar o momento de inércia para a nossa viga, onde teremos:

I = 462.10 6   m m 4 = 462.10 - 6   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 462.10 - 6 → E I = 92,4.10 6   N . m 2 = 92400   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 4,8 172,8 92400 2 → A 1 = 4,488.10 - 3

x - 1 = b 3 = 4,8 3 → x - 1 = 1,6   m

A 2 = b h 2 = 1,8 237,6 - 172,8 92400 2 → A 2 = 0,6312.10 - 3

x - 2 = b 3 = 1,8 3 → x - 2 = 0,6   m

A 3 = b h = 1,8 172,8 92400 → A 3 = 3,366.10 - 3

x - 3 = b 2 = 1,8 2 → x - 3 = 0,9   m

A 4 = b h 2 = 1,8 568,8 92400 2 → A 4 = 5,54.10 - 3

x - 4 = b 3 = 1,8 3 → x - 4 = 0,6   m

A 5 = b h 3 = 4,8 - 460,8 92400 3 → A 5 = - 7,979.10 - 3

x - 5 = b 4 = 4,8 4 → x - 5 = 1,2   m

A 6 = b h = 1,8 - 460,8 92400 → A 6 = - 8,977.10 - 3

x - 6 = b 2 = 1,8 2 → x - 6 = 0,9   m

A 7 = b h 2 = 1,8 - 806,4 - 460,8 92400 2 → A 7 = - 3,366.10 - 3

x - 7 = b 3 = 1,8 3 → x - 7 = 0,6   m

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto B pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ B = - t A / B L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio A em relação a B é dado por:

t A / B = A 1 x - 1 + A 5 x - 5

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t A / B = 4,488.10 - 3 4,8 - 1,6 + - 7,979.10 - 3 4,8 - 1,2

t A / B = - 14,363.10 - 3

Então a inclinação em B será:

θ B = - t A / B L = - - 14,363.10 - 3 4,8 → θ B = 2,99.10 - 3   r a d

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t D / B = A D B x - - θ B x B D

Em que A D B é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t D - t B = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 6 x - 6 + A 7 x - 7 - θ B x B D

Sabendo que não teremos deflexão em B devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t D - 0 = 0,6312.10 - 3 0,6 + 3,366.10 - 3 0,9 + 5,54.10 - 3 0,6 + - 8,977.10 - 3 0,9 + - 3,366.10 - 3 0,6 + 2,99.10 - 3 1,8

t D = - 8,75.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ B = 2,99.10 - 3   r a d

b : t D = - 8,75.10 - 3   m

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O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante.
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a constante k da mola para a qual a força da mola é igual a um terço da força total na viga.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a constante k da mola para a qual o momento fletor em B é M B = - w L 2 / 10 .