Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto D.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir o valor da reação no ponto B, então teremos:

+ ↺ ∑ M A = 0

B y ( L ) + w 3 L 2 3 L 2 2 = 0 → B y = 9 w L 8

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y + 9 w L 8 - w 3 L 2 = 0 → A y = 3 w L 8

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 3 w L 8 x + w x x 2 = 0 → M = 3 w L 8 x - w x 2 2

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e D, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 3 w L 8 x + L + w x + L x + L 2 - 9 w L 8 x = 0

M = 3 w L 8 x + L - w x + L 2 2 + 9 w L 8 x

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela reação em A, que chamaremos de momento 1, o causado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de momento 2, e o causado pela reação de apoio em B, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = 3 w L 8 x   0 < x < 3 L 2

M 2 = - w x 2 2 0 < x < 3 L 2

M 3 = 9 w L 8 x   L < x < 3 L 2

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 B = 3 w L 8 L → M 1 B = 3 w L 2 8

M 1 D = 3 w L 8 3 L 2 → M 1 D = 9 w L 2 16

M 2 B = - w L 2 2 → M 2 B = - w L 2 2

M 2 D = - w 3 L 2 2 2 → M 2 D = - 9 w L 2 8

M 3 D = 9 w L 8 L 2 → M 3 D = 9 w L 2 16

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L 3 w L 2 8 E I 2 → A 1 = 3 w L 3 16 E I

x - 1 = b 3 = L 3 → x - 1 = L 3

A 1 + A 2 = b h 2 = 3 L 2 9 w L 2 16 E I 2 → A 2 = 27 w L 3 64 E I - 3 w L 3 16 E I → A 2 = 15 w L 3 64 E I

A 3 = b h 3 = L - w L 2 2 E I 3 → A 3 = - w L 3 6 E I

x - 3 = b 4 = L 4 → x - 3 = L 4

A 3 + A 4 = b h 3 = 3 L 2 - 9 w L 2 8 E I 3 → A 4 = - 27 w L 3 48 E I + w L 3 6 E I → A 4 = - 19 w L 3 48 E I

A 5 = b h 2 = L 2 9 w L 2 16 E I 2 → A 5 = 9 w L 3 64 E I

x - 5 = b 3 = L 2 3 → x - 5 = L 6

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ A = - t B / A L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio B em relação a A é dado por:

t B / A = A 1 x - 1 + A 3 x - 3

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t B / A = 3 w L 3 16 E I L 3 + - w L 3 6 E I L 4 = w L 4 16 E I - w L 4 24 E I

t B / A = w L 4 48 E I

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B A L = - w L 4 48 E I L → θ A = - w L 3 48 E I

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t D / A = A D A x - + θ A x D

Em que A D A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto D. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t D - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 5 x - 5 + θ A x E

Agora, juntando as áreas 1 e 2, 3 e 4, teremos:

t D - t A = A 1 + A 2 x - 12 + A 3 + A 4 x - 34 + A 5 x - 5 + θ A x E

Sabendo que não teremos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t D - 0 = 3 w L 3 16 E I + 15 w L 3 64 E I 3 L 2 3 + - w L 3 6 E I - 19 w L 3 48 E I 3 L 2 4 + 9 w L 3 64 E I L 6 - w L 3 48 E I 3 L 2

t D = 27 w L 4 128 E I - 27 w L 4 128 E I + 3 w L 4 128 E I - 3 w L 4 96 E I → t D = - w L 4 128 E I

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a :   θ A = - w L 3 48 E I

b :   t D = - w L 4 128 E I

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