Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a intensidade e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.126.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar o exercício desenhando o DCL para o sistema:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y L + P L 2 - P L 4 = 0 → A y = P 4

Sendo assim, vamos agora desenhar um DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L / 2 , onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, onde teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - P 4 x = 0 → M = P 4 x

Agora vamos estender a seção da viga até algum ponto entre D e E, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto G, onde teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - P 4 x + L 2 + P x = 0 → M = - 3 P 4 x + P L 8

Passo 3

Agora, para a última seção, que vai até o trecho entre os pontos E e B, teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto H, onde teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - P 4 x + 3 L 4 + P x + L 4 - P x = 0 → M = P 4 x - P L 16

Agora nós vamos encontrar os valores para os momentos nos pontos D e E, já que os momentos serão iguais a zero nos apoios. Então teremos:

M D = P 4 L 2 → M D = P L 8

M E = - 3 P 4 L 2 + P L 8 → M E = - P L 16

Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, que será dado por:

Passo 4

Antes de calcularmos as áreas do diagrama, precisamos saber em que ponto o momento no trecho D-E é igual a zero, para sabermos o comprimento dos triângulos 2 e 3. Então, igualando a equação do momento para essa seção a zero, teremos:

M = - 3 P 4 x + P L 8 = 0 → 3 P x 4 = P L 8 → x = L 6

Esse será o comprimento do triângulo 2, e o comprimento do 3 será o restante para completar L/4, ou seja, será L/12. Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L 2 P L 8 E I 2 → A 1 = P L 2 32 E I

x - 1 = b 3 = L 2 3 → x - 1 = L 6

A 2 = b h 2 = L 6 P L 8 E I 2 → A 2 = P L 2 96 E I

x - 2 = b 3 = L 6 3 → x - 2 = L 18

A 3 = b h 2 = L 12 - P L 16 E I 2 → A 3 = - P L 2 384 E I

x - 3 = b 3 = L 12 3 → x - 3 = L 36

A 4 = b h 2 = L 4 - P L 16 E I 2 → A 4 = - P L 2 128 E I

x - 4 = b 3 = L 4 3 → x - 4 = L 12

Passo 5

Tá legal! Agora, para encontrar a localização do ponto de maior deflexão, precisamos encontrar primeiro a inclinação do ponto A, que pode ser dada através da equação 9.22 vista nesse capítulo, onde temos:

θ A = - t B / A L

Em que t B / A é o desvio tangencial de B com relação a A e L é o comprimento entre esses dois pontos. No entanto, o desvio tangencial pode ser encontrado através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t B / A = A B A x -

Em que A B A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto B. Então a equação acima se torna:

t B / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t B / A = P L 2 32 E I L 2 + L 6 + P L 2 96 E I L 2 - L 18 + - P L 2 384 E I L 4 + L 36 + - P L 2 128 E I L 4 - L 12

t B / A = P L 3 48 E I + P L 3 216 E I - 5 P L 3 6912 E I - P L 3 768 E I

t B / A = 3 P L 3 128 E I

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B / A L = - 3 P L 3 128 E I L → θ A = - 3 P L 2 128 E I

Passo 6

Agora, sabemos que a deflexão será máxima quando a inclinação for igual a zero, então vamos escrever a equação para a inclinação em um ponto K qualquer com relação ao ponto A, onde teremos:

θ K / A = θ K - θ A → θ K = θ A + θ K / A

Então, sabendo que a inclinação corresponde a área embaixo da curva M/EI, vamos assumir que o ponto de deflexão máxima está entre os pontos A e D, dessa forma teremos:

θ K / A = A 1

Então, substituindo as expressões conhecidas, teremos:

θ K / A = b h 2 = x P x 4 E I 2 → θ K / A = P x 2 8 E I

Substituindo essa expressão na equação para θ K teremos:

θ K = θ A + θ K / A → θ K = - 3 P L 2 128 E I + P x 2 8 E I

Agora para descobrir a localização da deflexão máxima, vamos igualar essa equação a zero, e teremos:

0 = - 3 P L 2 128 E I + P x 2 8 E I → P x 2 8 E I = 3 P L 2 128 E I → x K = 3 4 L

Podemos ver que o valor realmente se encontra no trecho suposto. Então bora calcular essa deflexão.

Passo 7

Agora, para calcular a deflexão nesse ponto, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t K / A = A K A x - + θ A x A K → t K - t A = A K x - K + θ A x A K

Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao apoio, teremos:

t K - 0 = x K P x K 4 E I 2 x K 3 + - 3 P L 2 128 E I x K

t K = 3 4 L P 4 E I . 3 4 L 2 3 4 L 3 + - 3 P L 2 128 E I 3 4 L

t K = 3 P L 3 512 E I - 3 3 P L 3 512 E I → t K = - 6,766.10 - 3 P L 3 E I

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

x K = 3 4 L

t K = - 6,766.10 - 3 P L 3 E I

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