Enunciado

Um macaco hidráulico pode ser utilizado para elevar o ponto B da viga em balanço ABC. A viga era originalmente reta, horizontal e sem força aplicada. Foi aplicada então uma força de 20 kN no ponto C, fazendo esse ponto se mover para baixo. Determine (a) quanto o ponto B deve ser levantado para que o ponto C retorne à sua posição original e (b) o valor final da reação em B. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 1,2   m , orientado da direita para a esquerda, para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

- M - 20 x = 0 → M = - 20 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e A, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

- M - 20 x + 1,2 + B y x = 0

M = - 20 x + 1,2 + B y x  

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em duas partes, o momento causado pela força localizada de 20 kN, que chamaremos de momento 1 e o causado pela reação de apoio em B, que chamaremos de momento 2, então teremos:

M 1 = - 20 x   0 < x < 3   m

M 2 = B y x   1,2 < x < 3   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e A para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 B = - 20 1,2 → M 1 B = - 24   k N . m

M 1 A = - 20 3 → M 1 A = - 60   k N . m

M 2 B = 0

M 2 A = B y 1,8 → M 2 A = 1,8 B y

Então nosso diagrama M/EI será:

Agora vamos aproveitar e calcular o valor do termo EI, pois precisaremos dele para calcular a área do gráfico que encontramos. Então vamos começar indo lá no apêndice C para pegar o valor do momento de inércia para esse perfil de viga, onde teremos:

I = 8,91.10 6   m m 4 = 8,91.10 - 6   m 4

Então o nosso termo EI será:

E I = 200.10 9 8,91.10 - 6 → E I = 1,782.10 6   N . m 2 = 1782   k N . m 2

Passo 5

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 1,2 - 24 1782 2 → A 1 = - 8,081.10 - 3

x - 1 = b 3 = 1,2 3 → x - 1 = 0,4   m

A 2 = b h 2 = 1,8 - 60 - 24 1782 2 → A 2 = - 18,182.10 - 3

x - 2 = b 3 = 1,8 3 → x - 2 = 0,6   m

A 3 = b h = 1,8 - 24 1782 → A 3 = - 24,242.10 - 3

x - 3 = b 2 = 1,8 2 → x - 3 = 0,9   m

A 4 = b h 2 = 1,8 1,8 B y 1782 2 → A 4 = 3,24 B y 3564

x - 4 = b 3 = 1,8 3 → x - 4 = 0,6   m

Passo 6

Agora, para encontrar a reação em B, vamos utilizar a condição de deflexão de C com relação a A como sendo zero, já que queremos que ele retorne a sua posição original e sabemos que A não sofrerá deflexão. Então teremos:

t C / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 = 0

Substituindo os valores encontrados, teremos:

- 8,081.10 - 3 2 + - 18,182.10 - 3 1,2 + 1,2 + - 24,242.10 - 3 1,2 + 0,9 + 3,24 B y 3564 2,4 = 0

B y = 50,7   k N

Beleza, encontramos primeiro a resposta para a letra (b), bora pra letra (a) agora.

Passo 7

Agora, para descobrir o quanto o ponto B deve ser levantado, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área entre os pontos B e A, onde teremos:

t B / A = A B A x - → t B - t A = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao engaste, teremos:

t B - 0 = - 18,182.10 - 3 1,2 + - 24,242.10 - 3 0,9 + 3,24 50,7 3564 1,2

t B = 11,673.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a :   t B = 11,673.10 - 3   m

b :   B y = 50,7   k N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.
A viga está sujeita às cargas mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o deslocamento em x = 7 m e a inclinação em A. EI é constante.
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine as equações da inclinação e da linha elástica. EI é constante
Determine o valor de a para o qual o momento positivo máximo tem o mesmo valor que o momento negativo máximo. EI é constante.