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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 38

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine as deflexões no (a) ponto B, (b) ponto C e no (c) ponto D.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Como só temos um ponto exercendo força na vertical para equilibrar a viga com as forças P, a força de reação em A deve ser igual a soma das forças P, onde temos:

A y = P + P + P → A y = 3 P

E, o momento M em A pode ser encontrado aplicando um somatório de momento com relação a esse ponto, onde teremos:

+ ↺ ∑ M = 0

M - P a - P 2 a - P 3 a = 0 → M = 6 P a

Agora, nós conseguimos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento na viga, tomando o ponto A como referência, teremos:

V = A y - P < x - a > 0 - P < x - 2 a > 0

Substituindo a expressão encontrada para A y , teremos:

V = 3 P - P < x - a > 0 - P < x - 2 a > 0

Passo 3

Agora, sabendo que a derivada do momento equivale a equação para o cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Substituindo a relação encontrada para o cisalhamento, temos:

d M d x = 3 P - P < x - a > 0 - P < x - 2 a > 0

Agora, integrando essa expressão, chegaremos em:

M = 3 P x - P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1 + C

Nesse caso, C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento localizado em A, então:

C = M = - 6 P a

E a nossa equação para o momento se torna:

M = 3 P x - P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1 - 6 P a

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = 3 P x - P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1 - 6 P a

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = 3 P x 2 2 - P 2 < x - a > 2 - P 2 < x - 2 a > 2 - 6 P a x + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = P x 3 2 - P 6 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 - 3 P a x 2 + C 1 x + C 2

Passo 4

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão e a inclinação serão zero no engaste, então temos

x = 0 → y = 0

x = 0 → d y d x = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . 0 = P ( 0 ) 3 2 - P 6 < 0 - a > 3 - P 6 < 0 - 2 a > 3 - 3 P a ( 0 ) 2 + C 1 ( 0 ) + C 2 → C 2 = 0

Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da inclinação, teremos:

E I . ( 0 ) = 3 P 0 2 2 - P 2 < 0 - a > 2 - P 2 < 0 - 2 a > 2 - 6 P a ( 0 ) + C 1

C 1 = 0

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = P x 3 2 - P 6 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 - 3 P a x 2 + C 1 x + C 2

y = 1 E I P x 3 2 - P 6 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 - 3 P a x 2

Passo 5

Agora para a letra (a), vamos calcular a deflexão no ponto B, onde temos x = a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I P a 3 2 - P 6 < a - a > 3 - P 6 < a - 2 a > 3 - 3 P a ( a ) 2

y = 1 E I P a 3 2 - 0 - 0 - 3 P a 3 = 1 E I P a 3 - 6 P a 3 2

y = - 5 P a 3 2 E I

Shoow! Bora pra (b) agora.

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos calcular a deflexão no ponto C, onde temos x = 2 a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I P 2 a 3 2 - P 6 < 2 a - a > 3 - P 6 < 2 a - 2 a > 3 - 3 P a ( 2 a ) 2

y = 1 E I 4 P a 3 - P 6 a 3 - 0 - 12 P a 3 = 1 E I - P 6 a 3 - 8 P a 3

y = 1 E I - P a 3 - 48 P a 3 6 → y = - 49 P a 3 6 E I

Shoow! Bora pra (c) agora pra fechar.

Passo 7

Agora para a letra (c), vamos calcular a deflexão no ponto D, onde temos x = 3 a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I P 3 a 3 2 - P 6 < 3 a - a > 3 - P 6 < 3 a - 2 a > 3 - 3 P a ( 3 a ) 2

y = 1 E I 27 P a 3 2 - P 6 2 a 3 - P 6 a 3 - 27 P a 3

y = 81 P a 3 - 8 P a 3 - P a 3 - 162 P a 3 6 → y = - 15 P a 3 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   y = - 5 P a 3 2 E I

b :   y = - 49 P a 3 6 E I

c :   y = - 15 P a 3 E I

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Para os carregamentos mostrados, determinar:A equação da curva elástica para a viga AB;A deflexão da extremidade livre;A declividade da extremidade.
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resolver as partes b e c do P r o b . 8 . 4 , considerando que a viga A B é um perfil laminado de aço W 15 0 x 24 e que w = 8760N / m , L = 1,80 m e E = 200G P a .