Enunciado

resolver as partes b e c do P r o b . 8 . 4 , considerando que a viga A B é um perfil laminado de aço W 15 0 x 24 e que w = 8760   N / m , L = 1,80 m e E = 200   G P a .

Passo 1

Fala galera, agora vamos aplicar os mesmos conceitos que já vamos aplicar os mesmos princípios que já vimos, mas agora vamos obter a nossa fórmula e os nossos dados levando em consideração a viga que o enunciado está nos dando.

Vamos nos preocupar com a equação em si no próximo passo, vamos agora obter alguns dados importantes para solução do nosso problema.

Sabemos que a nossa equação é dada por:

E I d 4 y d x 4 = - ω

Já sabemos pelo enunciado que:

E = 200   G P a = 200000 M P a = 200000000   K P a k N m 2

Sabemos que ω é a equação da nossa reta, e essa equação é simplificada da seguinte maneira:

ω = w

E sabemos que o comprimento da nossa barra é dada por:

L = 1,80   m

E o momento de inércia podemos obter pela seguinte tabela (lembrando que vamos considerar o nosso eixo em pé, ou seja, queremos o momento de inércia em torno de x na nossa tabelinha aqui de baixo.

I = 13,36 × 10 6   m m 4

E por fim precisamos pensar o seguinte, se quisermos definir a deformação da extremidade da viga, precisamos usar o valor de:

x = 0

Porque a extremidade da viga é o oposto ao engaste, e nesse caso, está iniciado no ponto 0. Agora que já temos os dados a serem substituídos, vamos definir a nossa equação e depois só substituirmos.

Passo 2

Vamos, lá, no nosso problema, a estrutura dada é:

Como a nossa carga é distribuída, independente que essa carga seja no meio, ou no final ou no começo, teremos que:

ω = w

Substituindo na nossa equação, teremos que:

E I d 4 y d x 4 = - w

Se integramos a primeira vez, vamos obter a primeira constante do nosso problema:

E I d 3 y d x 3 = - w x + C 1

E vale lembrar que como já definimos, a primeira integral é o cortante, assim temos que:

V = E I d 3 y d x 3 = - w x + C 1

Se integrarmos novamente, teremos a nossa segunda incógnita:

E I d 2 y d x 2 = - w x 2 2 + C 1 x + C 2

E sabemos que esse é o nosso momento fletor:

M = E I d 2 y d x 2 = - w x 2 2 + C 1 x + C 2

Se integramos novamente, teremos a nossa terceira incógnita:

E I d y d x = - w x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

E essa é a equação da rotação da nossa viga:

θ = E I d y d x = - w x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

E por fim, a ultima integral vai dar o deslocamento e a nossa quarta incógnita:

E I y = - w x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

Tendo a equação, basta olharmos as condições de contorno, e com elas podemos determinar a solução do nosso problema, vamos nessa? Já está acabando.

Passo 3

Para as condições, iremos olhar os extremos da viga, e é importante ver o seguinte, sempre a soma das condições de contorno deve ser igual ao número de incógnitas, ou seja, se temos 4 incógnitas, temos que ter 4 condições, podendo ser qualquer combinação de essenciais com naturais ( 1 natural e 3 essenciais, ou duas essenciais e duas naturais, ou 4 essenciais) não importa, no fim o total tem que ser 4, sendo assim teremos que:

Ou seja, temos 4 condições, e com isso podemos resolver o nosso problema, sempre começando do menor número de incógnitas para o maior, sendo assim vamos ter que:

  • V = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = 0
  • V = E I d 3 y d x 3 = - w x + C 1

    V = 0 = - w 0 + C 1

    C 1 = 0

    Definido a primeira incógnita, vamos para a próxima:

  • M = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = 0
  • M = E I d 2 y d x 2 = - w x 2 2 + C 1 x + C 2

    Já sabemos quanto vale C 1 .

    M = - w x 2 2 + 0 x + C 2

    E sabemos que M = 0 quando x = L

    0 = - w 0 2 2 + C 2

    C 2 = 0

  • θ = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = L
  • θ = E I d y d x = - w x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

    Substituindo temos que:

    0 = - w L 3 6 + 0 L 2 2 + 0 L + C 3

    C 3 = w L 3 6

  • y = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = L

E I y = - w x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

Substituindo teremos que:

0 = - w L 4 24 + 0 L 3 6 + 0 L 2 2 + q L 3 6 L + C 4

0 = - w L 4 24 + w L 3 6 L + C 4

0 = 3 w L 4 24 + C 4

0 = w L 4 8 + C 4

C 4 = - w L 4 8

E assim determinamos todas as incógnitas do nosso problema, sendo assim basta substituirmos na nossa equação final.

E I y = - w x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

E I y = - w x 4 24 + 0 x 3 6 + 0 x 2 2 + w L 3 6 x - w L 4 8

E I y = - w x 4 24 + w L 3 6 x + - w L 4 8

E I y = - w 24 ( x 4 - 4 L 3 x + 3 L 4 )

y = - w 24 E I ( x 4 - 4 L 3 x + 3 L 4 )

Passo 4

O item b) quer saber o deslocamento na extremidade da barra, ou seja, que saber o deslocamento em x = 0 , assim temos que:

y = - w 24 E I ( x 4 - 4 L 3 x + 3 L 4 )

y = - w 24 E I ( 0 4 - 4 L 3 0 + 3 L 4 )

y = - 3 w L 4 24 E I

y = - w L 4 8 E I

Sabemos que:

L = 1,80   m  

E = 200000000 k N m 2 = 200000000 000   N m 2

I = 13,36 × 10 6   m m 4 = 1,336 × 10 - 5   m 4

w = 8760   N / m

y = - w L 4 8 E I

Substituindo, teremos que:

y = - 8760 N m   .     1,80 4 m 4 8   .     200000000000 N m 2   .   1,336 × 10 - 5   m 4 = - 4,30 × 10 - 3 m = - 4,30   m m

No item c) queremos saber a rotação, para isso sabemos que a equação é dada por:

θ = E I d y d x = - w x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

θ = E I d y d x = - w x 3 6 + 0 x 2 2 + 0 x + w L 3 6

Substituindo na posição x = 0

θ = E I d y d x = - w x 3 6 + w L 3 6

E I d y d x = + w L 3 6

d y d x = θ

E I θ = + w L 3 6

θ = + w L 3 6 E I

Sabemos que:

L = 1,80   m  

E = 200000000 k N m 2 = 200000000000   N m 2

I = 13,36 × 10 6   m m 4 = 1,336 × 10 - 5   m 4

w = 8760   N / m

θ = + w L 3 6 E I

Substituindo, teremos que:

θ = 8760 N m   .     1,80 3 m 3 6   .     200000000000 N m 2   .   1,336 × 10 - 5   m 4 = 0,0032   r a d = 0,18 °

E assim resolvemos o nosso problema, vamos para o próximo?

Resposta

y = - 4,30   m m

θ = 0,0032   r a d = 0,18 °

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Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade B . Usar E = 200G P a