Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a inclinação na extremidade A e (c) a deflexão do ponto C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Com o DCL acima, nós conseguimos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento na viga, tomando o ponto A como referência, teremos:

V = A y - w 0 < x - L 2 > 1

Agora, sabendo que a derivada do momento equivale a equação para o cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Substituindo a relação encontrada para o cisalhamento, temos:

d M d x = A y - w 0 < x - L 2 > 1

Agora, integrando essa expressão, chegaremos em:

M = A y x - w 0 2 < x - L 2 > 2 + C

Nesse caso, C representa os momentos localizados aplicados no sistema, como no nosso caso não temos nenhum, então:

C = 0

E a nossa equação para o momento se torna:

M = A y x - w 0 2 < x - L 2 > 2

Passo 3

Agora, para encontrar o valor da reação A y , podemos utilizar o valor do momento que é conhecido na extremidade B, que deve ser igual a zero, ou seja:

x = L → M = 0

Substituindo esses valores na expressão para o momento, teremos:

0 = A y L - w 0 2 < L - L 2 > 2 = A y L - w 0 2 L 2 2

0 = A y L - w 0 L 2 8 → A y = w 0 L 8

Então a equação para o momento será:

M = w 0 L 8 x - w 0 2 < x - L 2 > 2

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = w 0 L 8 x - w 0 2 < x - L 2 > 2

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = w 0 L 16 x 2 - w 0 6 < x - L 2 > 3 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = w 0 L 48 x 3 - w 0 24 < x - L 2 > 4 + C 1 x + C 2

Passo 4

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos dois apoios da viga, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = L → y = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . 0 = w 0 L 48 0 3 - w 0 24 < 0 - L 2 > 4 + C 1 0 + C 2 → C 2 = 0

Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

E I . 0 = w 0 L 48 L 3 - w 0 24 < L - L 2 > 4 + C 1 L + 0

0 = w 0 L 4 48 - w 0 24 L 2 4 + C 1 L → C 1 = - w 0 L 3 48 + w 0 L 3 384

C 1 = - 8 w 0 L 3 + w 0 L 3 384 → C 1 = - 7 w 0 L 3 384

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = w 0 L 48 x 3 - w 0 24 < x - L 2 > 4 - 7 w 0 L 3 384 x

y = 1 E I w 0 L 48 x 3 - w 0 24 < x - L 2 > 4 - 7 w 0 L 3 384 x

Belezaaa! Fechamos a letra (a), bora pra (b).

Passo 5

Agora para resolver a letra (b), vamos pegar a equação que encontramos para a inclinação da viga lá no passo 3, dada por:

E I . d y d x = w 0 L 16 x 2 - w 0 6 < x - L 2 > 3 + C 1

Substituindo a expressão encontrada para C 1 no passo 4, temos:

E I . d y d x = w 0 L 16 x 2 - w 0 6 < x - L 2 > 3 - 7 w 0 L 3 384

Então, para calcular a inclinação no ponto A, basta calcular essa equação para x = 0 , então teremos:

E I . d y d x x = 0 = w 0 L 16 0 2 - w 0 6 < 0 - L 2 > 3 - 7 w 0 L 3 384

E I . d y d x x = 0 = 0 - 0 - 7 w 0 L 3 384 → d y d x x = 0 = - 7 w 0 L 3 384 E I

Tá aí! Bora pra (c) pra fechar.

Passo 6

Agora para a letra (c), vamos pegar a equação para a deflexão encontrada no passo 4 e calcular no ponto C, em x = L / 2 , então teremos:

y = 1 E I w 0 L 48 L 2 3 - w 0 24 < L 2 - L 2 > 4 - 7 w 0 L 3 384 L 2

y = 1 E I w 0 L 4 384 - w 0 24 0 - 7 w 0 L 4 768 = 1 E I 2 w 0 L 4 - 7 w 0 L 4 768

y = - 5 w 0 L 4 768 E I

Tooop! Fechamos a letra (c) e o exercício por aqui, valeeu!

Resposta

a :   y = 1 E I w 0 L 48 x 3 - w 0 24 < x - L 2 > 4 - 7 w 0 L 3 384 x

b :   d y d x x = 0 = - 7 w 0 L 3 384 E I

c :   y = - 5 w 0 L 4 768 E I

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