Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a inclinação no ponto B e (c) a deflexão no ponto C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos começar aplicando o somatório de forças na direção y para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - 1 2 w 0 L 2 = 0 → A y = w 0 L 4

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir o valor do momento M A no engaste, então teremos:

+ ↺ ∑ M A = 0

M A - 1 2 w 0 L 2 L 2 + 2 3 . L 2 = 0 → M A = w 0 L 4 5 6 L

M A = 5 w 0 L 2 24

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w 0 L 2 < x - L 2 > 1 = - 2 w 0 L < x - L > 1

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - w 0 L < x - L 2 > 2 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, só teremos a reação A y , então nossa constante será:

C = A y = w 0 L 4

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - w 0 L < x - L 2 > 2 + w 0 L 4

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - w 0 L < x - L 2 > 2 + w 0 L 4

Integrando essa expressão, teremos:

M = - w 0 3 L < x - L 2 > 3 + w 0 L 4 x + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento M A no engaste, então teremos:

C = M A = 5 24 w 0 L 2

Então nossa equação para o momento será:

M = - w 0 3 L < x - L 2 > 3 + w 0 L 4 x + 5 24 w 0 L 2

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - w 0 3 L < x - L 2 > 3 + w 0 L 4 x + 5 24 w 0 L 2

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - w 0 12 L < x - L 2 > 4 + w 0 L 8 x 2 + 5 24 w 0 L 2 x + C 1

Agora, para descobrir o valor da constante C 1 , nós sabemos que não temos inclinação no engaste, ou seja:

x = 0 → d y d x = 0

Substituindo esses valores na equação de cima, temos:

E I . 0 = - w 0 12 L < 0 - L 2 > 4 + w 0 L 8 0 2 + 5 24 w 0 L 2 0 + C 1

C 1 = 0

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + w 0 L 24 x 3 + 5 48 w 0 L 2 x 2 + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor da constante C 2 nós vamos usar novamente a equação de contorno no engaste, só que agora com relação a deflexão, pois sabemos que não temos deflexão nesse ponto, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa relação na equação para a deflexão, temos:

E I . ( 0 ) = - w 0 60 L < 0 - L 2 > 5 + w 0 L 24 ( 0 ) 3 + 5 48 w 0 L 2 ( 0 ) 2 + C 2

C 2 = 0

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + w 0 L 24 x 3 + 5 48 w 0 L 2 x 2

y = 1 E I - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + w 0 L 24 x 3 + 5 48 w 0 L 2 x 2

Shoow! Bora pra (b) agora!

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a inclinação lá no passo 4, e vamos calcular no ponto B, onde temos x = L / 2 , então teremos:

E I . d y d x x = L 2 = - w 0 12 L < L 2 - L 2 > 4 + w 0 L 8 L 2 2 + 5 24 w 0 L 2 L 2

E I . d y d x x = L 2 = - 0 + w 0 L 3 32 + 5 4 8 w 0 L 3 = 6 w 0 L 3 + 20 w 0 L 3 192

d y d x x = L 2 = 13 w 0 L 3 96 E I

Quase lá em, falta só a (c) agora, desanima nãão!

Passo 7

Agora, para a letra (c), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos na letra (a) lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = L , então teremos:

y x = L = 1 E I - w 0 60 L < L - L 2 > 5 + w 0 L 24 L 3 + 5 48 w 0 L 2 L 2

y x = L = 1 E I - w 0 60 L L 2 5 + w 0 L 4 24 + 5 48 w 0 L 4 = 1 E I - w 0 L 4 1920 + w 0 L 4 24 + 5 48 w 0 L 4

y x = L = 1 E I - w 0 L 4 + 80 w 0 L 4 + 200 w 0 L 4 1920 → y x = L = 93 w 0 L 4 640 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : y = 1 E I - w 0 60 L < x - L 2 > 5 + w 0 L 24 x 3 + 5 48 w 0 L 2 x 2

b : d y d x x = L 2 = 13 w 0 L 3 96 E I

c :   y x = L = 93 w 0 L 4 640 E I

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a deflexão no: a) ponto A b) ponto C.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a reação no apoio móvel e a deflexão no ponto c.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a deflexão no ponto A.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a reação no apoio móvel e a deflexão no ponto b.
Para a viga uniforme mostrada, determinar a reação em A.