Enunciado

Para o estado de tensões mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) σ z = + 4   k s i , (b) σ z = - 4   k s i , (c) σ z = 0 .

Passo 1

Eaaee galera! Estamos quase acabando o capítulo, falta pouco, bora lá! Para resolver esse exercício, vamos precisar encontrar as tensões principais no plano e depois comparar esses valores com cada um dos valores de σ z dados, para descobrir quais são os valores máximos e mínimos de tensão normal que temos, já que a tensão de cisalhamento máxima é dada por:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2

Então, para descobrir as tensões principais, sabendo que elas são dadas por:

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Vamos precisar da tensão média e do raio do círculo de Mohr no plano xy. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar escrevendo as tensões que nós temos no plano, dadas através do elemento diferencial da figura, que serão:

σ x = 7   k s i

σ y = 2   k s i

τ x y = - 6   k s i

Beleza! Com isso podemos calcular a tensão média, que será dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 7 + 2 2 → σ m e d = 4,5   k s i

Agora, o raio do círculo de Mohr será dado por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 7 - 2 2 2 + - 6 2

R = 6,5   k s i

Com esses dois valores encontrados, podemos encontrar as tensões principais no plano, dadas por:

σ a = σ m e d + R = 4,5 + 6,5 → σ a = 11   k s i

σ b = σ m e d - R = 4,5 - 6,5 → σ b = - 2   k s i

Passo 3

Beleza! Agora podemos começar a analisar a letra (a), onde temos:

σ z = 4   k s i

Então, comparando o valor de σ z com as tensões principais, podemos ver que as tensões máxima e mínima serão:

σ m a x = 11   k s i

σ m i n = - 2   k s i

Então, com isso, nossa tensão de cisalhamento máxima será:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2 = 11 - - 2 2 → τ m a x = 6,5   k s i

Passo 4

Agora, para a letra (b), vamos repetir a análise feita no passo 3. Agora nós temos:

σ z = - 4   k s i

Então, comparando o valor de σ z com as tensões principais, podemos ver que as tensões máxima e mínima serão:

σ m a x = 11   k s i

σ m i n = - 4   k s i

Então, com isso, nossa tensão de cisalhamento máxima será:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2 = 11 - - 4 2 → τ m a x = 7,5   k s i

Passo 5

E, pra fechar, para a letra (c), teremos:

σ z = 0   k s i

Então, comparando o valor de σ z com as tensões principais, podemos ver que as tensões máxima e mínima serão:

σ m a x = 11   k s i

σ m i n = - 2   k s i

Então, com isso, nossa tensão de cisalhamento máxima será:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2 = 11 - - 2 2 → τ m a x = 6,5   k s i

Shooow! Terminamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

a :   τ m a x = 6,5   k s i

b :   τ m a x = 7,5   k s i

c :   τ m a x = 6,5   k s i

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