Enunciado

Para a viga de concreto mostrada, os módulos sde elasticidade são 24   G P a para o concreto e 200   G P a para o aço. Usando uma tensão admissível de 12,5   M P a para o concreto e 138   M P a para o aço, determinar: (a) a área necessária A a para o reforço de aço, se o projeto da viga deve ser balanceado. (Veja o problema 4.49 para a definição de uma viga balanceada).

Passo 1

Para resolver a letra b vamos utilizar os passos 1 e 2 da letra A:

Vamos lá, seguindo o passo a passo convencional nós teríamos de achar a linha neutra, por meio da seção transformada, achar o momento de inércia e finalmente achar as tensões e igualá-las. Mas o problema anterior já fornece um dado, que é:

x = d 1 + σ a ⋅ E c σ c ⋅ E a

Onde x é a posição da linha neutra. Então é só substituir os valores

x = 450 × 10 - 3 1 + 138 ⋅ 24 12,5 ⋅ 200

x = 450 × 10 - 3 1 + 1,3248

x = 450 × 10 - 3 2 , 3248

x = 193,56   m m

Passo 2

Uma outra forma de calcular a posição da linha neutra é a utilizando a seção transformada, como dito anteriormente:

Onde a posição da linha neutra se dá através da equação:

1 2 ⋅ b x 2 - n ⋅ A a ⋅ d - x = 0

Lembrando que n = E a ç o E c o n c r e t o

n = 200 24 = 8,33

Substituindo os valores:

1 2 ⋅ 200 x 2 - 8,33 ⋅ A a ⋅ 450 - x = 0

Aqui vai uma dica! A gente não precisa resolver essa equação toda, porque já sabemos que o resultado é

x = 193,56   m m

Então basta substituir

1 2 ⋅ 200 ( 193,56 ) 2 - 8,33 ⋅ A a ⋅ 450 - 193,56 = 0

1 00 ⋅ ( 193,56 ) 2 - 8,33 ⋅ A a ⋅ 256,44 = 0

A a = 100 ⋅ 193,56 2 8,33 ⋅ 256,44

A a = 1753,2   m m ²

Passo 3

Agora para calcular o momento fletor nós precisamos do momento de inércia, porque:

σ = M ⋅ c I

OU

M = σ ⋅ I c

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Calculando o momento de inércia da seção transformada:

I = b ⋅ h 3 3

Observe que aqui vamos considerar o corpor rotacionando em volta de um de seus lados, por isso o denominador 3 .

I s u p = b ⋅ h 3 3

I s u p = 200 × 10 - 3 ⋅ ( 19 3 , 56 × 10 - 3 ) 3 3

I s u p = 4,83 × 10 - 4 m 4

Para a parte inferior

I i n f = n ⋅ A ⋅ ( d - x ) ²

I i n f = 1753,2 × 10 - 6 ⋅ ( 256,44 × 10 - 3 ) ²

I i n f = 1,15 × 10 - 4   m 4

Somando os dois

I = I i n f + I s u p

I = 1,15 × 10 - 4       + 4,83 × 10 - 4

I = 5,98 × 10 - 4   m 4

Passo 4

Substituindo na equação do momento fletor para o concreto:

M = σ c ⋅ I x

M = 12,5 × 10 6 ⋅ 5,98 × 10 - 4 193,56 × 10 - 3

M = 38,62   k N ⋅ m

Para o aço, lembrando que devemos utilizar o termo n

M = σ a ⋅ I n ⋅ ( d - x )

M = 138 × 10 6 ⋅ 5,98 × 10 - 4 8,33 ⋅ 256,44 × 10 - 3

M = 38,62   k N ⋅ m

Perceba que a viga realmente está balanceada!

Resposta

M = 38,62   k N ⋅ m

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